扩展离散可积系统的构造、求解及应用

The theory of integrable systems is one of the important subjects in the research of mathematics and physics. In recent years, the discrete integrable systems attracted more and more interests, the construction of an extended discrete integrable system (ext-DIS) and their solutions have many importance in the theory of integrable systems and also in the applications. In this project, we plan to investigate the construction of the ext-DIS, their solutions and applications, mainly on the following aspects: 1) to propose a systematic method to construct the ext-DIS on base of the squared eigenfunctions symmetry and binary Darboux transformation; 2) to construct the exntended system of some important discrete integrable systems, and to study their properties, e.g., the discrete Darboux equation, the discrete BKP equation, the discrete CKP equation; 3) to construct and to study the extended system for the constrained flows of some DIS, e.g., the discrete (modified) KdV equation, the discrete Gel'fand- - Dikii type equations; 4) to study the continuous limit relation between the ext-DIS and its continuous part; 5) to find more explicit solutions of the ext-DIS by the algebro-geometric or analytic techniques; 6) to study the physical and geometric applications of the ext-DIS.

可积系统理论是数学和物理中的重要研究领域。近年来，离散可积系统的研究得到越来越多的重视。扩展离散可积系统的构造及求解在可积系统理论及实际应用中都有十分重要的意义。本项目拟在扩展离散可积系统的构造、求解及应用方面进行研究，主要研究以下几个方面：1）拟利用平方特征函数对称与双Darboux变换的关系，提出构造扩展离散可积方程的一个系统方法；2）构造一些重要离散可积方程的扩展系统，并研究扩展系统的性质，如：离散Darboux方程，离散BKP方程，离散CKP方程；3）研究重要离散方程的约束系统的带源扩展问题，如：离散(modified) KdV方程，离散Gel'fand-Dikii型方程；4）研究离散扩展可积系统与连续系统之间的连续极限关系；5）利用代数几何或分析的方法得到扩展系统更多形式的解；6）讨论扩展可积系统在物理、几何等方面的应用。

可积系统理论是数学和物理中的重要研究领域。近年来，离散可积系统的研究得到越来越多的重视。扩展离散可积系统的构造及求解在可积系统理论及实际应用中都有十分重要的意义。本项目主要研究了以下几个方面：1）构造了带自相容源离散KP方程的推广的Darboux变换，给出了方程的显式孤立子解及Wronskian形式的解；2）构造了扩展BKP方程族以及扩展(gamma_n,sigma_k)-KP方程族的双线性等式、tau函数、以及Hirota双线性形式；3）构造了带自相容源非线性Schrodinger方程的怪波解，研究了其与呼吸子解的相互作用；4）构造了分数阶Volterra方程族，并给出了Lax表示，构造了其孤立子解；5）研究了约束KP方程族的中心不变量等重要性质. 这些结果对可积系统的研究以及相关的物理应用都有重要的意义.