特殊和乐流形的霍奇理论与规范理论

In this project, we consider some properties of the complete G_2-and Spin (7)-manifolds of a certain considition, that is, G_2- and Spin (7)-manifolds whose special holonomy structure forms satisfy weak linear growth condition.. In Specifically, we study three aspects as following: Firstly,we study the L^2- harmonic forms on the manifolds of above type.Furthemore, we can study the topological properties on these manifolds. Secondly,we wolud like to construct the manifolds which defined in this project. G_2-manifold plays an important role in the string theory, especially in M-theory.Third,we consider the Hodge theory over the principal bundle.We also would like to apply these results to study some problems on gauge theory,for example: the existence of G_2-instantans or the energy gap of Yang-Mills field.Finally,we also study the analysis property of the Spin(7)-instanton over a cylinder of a compact G_2 manifold.

本项目主要是研究某一类G_2-以及Spin(7)-流形的性质，即特殊和乐结构满足弱线性增长的G_2-以及Spin(7)-流形。. 具体是从四个个角度进行研究：首先研究这一类流形上的L^2-调和形式，从而可以研究其拓扑性质；其次研究如何构造出本项目中定义的流形，G_2 -流形的构造在弦理论当中尤其 -理论当中具有重要作用；再次研究这类流形上的主丛的霍奇理论，进一步把结果运用到规范场论当中--研究 G_2-瞬子等瞬子方程的存在问题以及Yang-Mills 场的能量间隙问题；最后研究紧致G_2流形的管状流形上Spin(7)-瞬子的分析性质。

本人研究的课题是数学物理和微分几何领域共同关心的重要课题，也得到了一些高质量的成果。在 Int.Math.Res.Not.、Isr.J.Math.、Math.Z.、Asian J.Math.、Acta Math.Scientia等国内外著名数学杂志上，共计发表了13篇文章。项目资助期间我的研究主要分成两部分。.(1)非正截面曲率流形的拓扑性质：独立研究了具有严格负截面曲率Kahler流形的拓扑性质，建立了截面曲率与拉普拉斯算子谱下界以及流形的Euler数之间的联系；与合作者给出了完备强 Lefschetz辛流形的等价刻画，并由此证明了此种情形的Hopf猜想；独立证明了某些局部共形Kahler流形的消去定理以及非消去定理；研究具有d(有界)辛形式的完备非紧的近Kahler流形的L2-调和形式，并给出了bidegree调和形式的消去定理以及其估计，这个结果推广了Gromov在Kahler流形的情形。(2) 特殊和乐流形的规范场论: 研究四维流形的Kapustin-Witten方程，发现了某些紧致的四维流形的KW方程的模空间是非连通的；还观察到可以通过Vafa-Witten方程来研究三维流形的复平坦联络，并利用Taubes的结果给出了复平坦联络模空间的紧致性的一些刻画；首次给出了具有微扰势函数的非紧G2流形的定义，并研究了此类流形的调和形式。