脉冲切换系统的复杂动力学特性及其分岔机理研究

The impulsive switched systems have a wide range of applications in mechanical, electrical, biological, control, and other fields. The systems contain impulse and switching which are two typical non-smooth factors, so these systems can exhibit rich dynamical behaviors and have been received particular attention by the international researchers in the field of dynamics and control. This project will explore the complex dynamics of impulsive switched systems, such as stable solutions, periodic solutions, quasi-periodic solutions, chaotic solutions, chattering, sticking etc, with the variation of the parameters by using the numerical simulation methods of non-smooth systems including the time-stepping method and event-driven method. Then by using the methods of non-smooth systems including Poincaré mapping method, zero-time mapping method, path-following method, this project will consider the bifurcation mechanisms of smooth and non-smooth bifurcation of periodic solutions and further discover the bifurcation mechanisms of the complex dynamics. Besides this project will give multi-parametric bifurcation sets by using the extended continuation method. And this project will not only present smooth or non-smooth bifurcation sets respectively, but also present the combination sets of smooth and non-smooth bifurcation. Finally the influence of impulse and switching on the dynamics of the systems will be analyzed. To carry out this project will set up some mathematical modes of impulsive switched systems, improve the numerical simulation algorithms of impulsive switched systems, propose some bifurcation analysis methods of impulsive switched systems and further promote practical applications of impulsive switched systems.

脉冲切换系统在机械、电路、生物、控制等许多领域具有广泛应用。该系统具有脉冲与切换两种典型非光滑因素，会产生丰富的动力学行为，受到了国际动力学与控制学者们的高度重视。本项目首先利用非光滑系统的基于时间与基于事件的两种数值仿真方法研究脉冲切换系统在某些参数变化时所呈现的复杂动力学特性，如稳定解、周期解、概周期解、混沌解、颤振、粘滞等。其次通过非光滑系统的Poincaré映射法、零时间映射法、路径跟踪法等研究该系统周期解的各种光滑分岔与非光滑分岔，从而揭示该系统复杂动力学行为的内在分岔机理。基于扩展延拓法给出系统的多参数分岔集，将不仅给出单独的光滑或非光滑分岔集，而且给出光滑与非光滑混合分岔集，最后还分析脉冲与切换作用对系统动力学行为的影响。本项目的研究将建立脉冲切换系统的若干数学模型、改进脉冲切换系统的数值仿真算法、提出脉冲切换系统的若干分岔分析方法，从而推动脉冲切换系统在实际中的应用。

脉冲切换系统具有广泛的工程应用背景，它的动力学行为及其分岔机理是当前国际动力学与控制领域前沿课题之一。本课题按计划完成了项目研究任务，达到了预期研究目标。主要结果有：（1）研究了一类具有双线性阻尼的硬碰撞振子的复杂动力学。该振子为机械领域的脉冲切换系统模型。通过映射方法给出了该振子周期解的稳定性和分岔条件，并通过分岔分析观察到吸引子共存、擦边分岔、倍周期分岔和鞍结分岔等复杂动力学现象；（2）研究了一类由两个受反相位周期激励相同振子的同步及其动力学问题，其中这两个振子通过碰撞进行耦合，为状态脉冲耦合振子。该系统可产生复杂的动力学行为，如对称或非对称的周期解、概周期解和混沌等，通过单、双参数分岔分析说明对称性破缺分岔在系统从同步到异步的转迁中起到了重要的作用；（3）研究了一类环形周期脉冲耦合Duffing振子的复杂动力学行为，结合打靶法、龙格-库塔方法及扩展延拓法给出系统的两参数Hopf分岔集，利用Floquet理论研究了该系统周期解的稳定性及其分岔；（4）将含硬碰撞的周期激励振子的不连续几何概念推广到含软碰撞的情形，并用于揭示含单边弹性约束振子的擦边分岔机理；（5）利用路径跟踪（延拓）方法研究了一类单边弹性与硬性约束下周期激励碰撞振子的擦边诱导分岔的差异，这两类振子分别为典型脉冲系统和切换系统。根据国内外最新研究进展，本项目还研究了多智能体系统的一致性、非线性离散映射的隐藏吸引子以及脉冲系统的稳定性等问题，为后续研究工作打下良好基础。这方面工作主要有：（1）基于图谱理论研究了一类网络化无源多智能体系统的脉冲输出一致性，基于无源性原理分别给出该系统在网络拓扑固定、切换两种情形下达到输出一致的充分条件，其中网络拓扑切换情形下该系统为高维脉冲切换系统；（2） 针对一类二维、三维离散映射，研究了在无不动点、单不动点、两不动点三种情形下系统的隐藏吸引子，找出若干含隐藏混沌吸引子的系统；（3）针对一类非线性含时变时滞的脉冲系统，基于并行分布补偿的基本思想设计状态反馈控制器并利用Lyapunov-Krasovskii泛函证明闭环系统是全局指数稳定的。在国家自然科学基金项目的资助下，3年中先后在国内外重要学术期刊上发表或录用学术论文10篇，其中已被SCI收录8篇。本项目的研究能丰富脉冲切换系统的分岔理论、促进脉冲切换系统在实际中的应用。