基于模型降阶的大型时间相关微分方程多尺度快速算法

时间相关微分方程包括常微分方程组和发展方程，出现于众多的应用领域中。时间相关微分方程的高性能数值解法对于科学和工程计算具有重要的理论意义和应用价值。对于超大规模的时间相关微分方程计算问题，传统的求解方法遇到了存储量大、条件数高和计算时间长等计算上的瓶颈问题。本项目将结合多尺度和模型降阶方法研究大规模时间相关微分方程的快速求解问题。本项目首先研究基于双正交投影的最优H2 模型降阶问题快速算法。在模型降阶算法的基础上，研究与空间变量自适应多尺度分解相结合的发展方程多尺度快速算法。在求解过程中，我们将充分挖掘多尺度离散后的系数矩阵所具有的多尺度层次性，提高求解效率。

对于超大规模的时间相关微分方程计算问题，传统的求解方法遇到了存储量大、条件数高和计算时间长等计算上的瓶颈问题。为了解决这一问题，本项目提出了结合多尺度和模型降阶方法相结合的快速算法。首先，我们提出了一种基于Grassmann 流形最优化的最优H2 模型降阶问题的快速有效算法，该方法不需要计算矩阵指数，大大降低了算法复杂度。基于正交投影模型降阶算法的基础上，提出了基于双正交投影的模型降阶方法。双正交方法提供了更多的模型选择并且提高了计算精度。在多尺度快速算法方面，本项目在多方面取得了进展。首先，负责人及其合作者提出了求解线性方程组的小波块 Jacobi 方法。该方法充分利用小波变换后的稀疏性和多尺度块结构，求解过程中结合了直接法和迭代法两者各自的优势。另外，负责人及其合作者提出了多尺度Galerkin 方法求解具有二阶边界条件的 Fredholm 积分微分方程。该算法先在固定初始层上求出一个较粗的近似解，然后将高层部分的“细节”逐层添加上去加以校正。由于算法只需求解固定初始层上的方程组，因此存储空间和计算复杂度大大减少。本项目还将多尺度方法应用于图像去噪算法研究中，实验结果证明，所提出的算法相对于全变差去噪方法和小波去噪方法能够更好地抑制噪声、保持边缘和消除阶梯效应。在基金的支持下， 课题组成员在国内外专业刊物上发表4篇文章，一本专著。其中SCI 论文2 篇， EI论文1篇， 国内核心刊物1 篇。另有几篇正在审稿及论文整理中。