一维连续统上群作用的拓扑动力学性质

The project will study topological dynamical properties of group actions on one-dimensional continua, and reveal the inherent relationship among topological structures of continua, algebraic structures of groups and kinds of dynamical properties. We mainly discuss a kind of problems as follows: given a continuum X, a group G and a dynamical property P, can G act on X with the property P? The specific contents are: (1) the existence of expansive or sensitive nilpotent group actions on some kinds of continua, and the existence of kinds of chaotic group actions on continua； (2) the complexity of topological k-transitivity of solvable or nilpotent group actions on one-dimensional continua, such as the circle, dendrites and hereditarily decomposable chainable continua；(3) the relationship between the geometric entropy of group actions on some continua and the algebraic structures of groups. Through the study of above problems, the project will generalize the corresponding results in classic dynamical systems of single map to group actions. And we will enrich and develop theories and methods of dynamical systems of group actions.

本课题研究一维连续统上群作用的拓扑动力学性质，揭示连续统的拓扑结构、群的代数结构与各种动力学性质之间的内在联系。我们主要讨论这样一类问题：对于给定的连续统X、群G和动力学性质P，考虑G在X上的作用是否具有性质P。具体内容包括：（1）几类连续统上可扩或敏感幂零群作用的存在性，以及连续统上各种混沌群作用的存在性；（2）圆周、dendrite、遗传可分可链连续统等一维连续统上可解或幂零群作用拓扑k-传递性的复杂程度；（3）连续统上群作用的几何熵与群的代数结构之间的关系。本课题拟通过对上述问题的研究将经典的单一映射拓扑动力系统的相应结果推广到群作用的情形中，丰富和发展群作用的动力系统的理论和方法。

本项目研究一维连续统上群作用的拓扑动力学性质，揭示连续统的拓扑结构、群的代数结构与各种动力学性质之间的内在联系。我们主要研究了含自由弧的Peano连续统、dendrite等连续统上的群或半群作用的敏感性、拓扑传递性、拓扑熵等问题。本项目取得的主要研究成果如下：. 1. 对存在敏感半群作用的含自由弧的Peano连续统的拓扑结构进行刻画。含自由弧的Peano连续统上是否存在敏感的群作用或半群作用由连续统的拓扑结构和作用群（或半群）的代数结构共同决定。我们证明了以下结论：设X是一个含自由弧的Peano连续统。（1）如果X上存在由局部同胚生成的敏感交换半群作用，则X一定是圆周。（2）如果X上存在由连续开映射生成的敏感交换半群作用，则X或是弧，或是圆周。. 2. 研究了dendrite上连续映射的敏感性与拓扑传递性、拓扑熵之间的关系。首先，我们讨论了dendrite上的敏感系统包含的子系统的动力学性质，证明了dendrite 上连续映射的敏感系统(X,f)：（1）必包含一个具有非空内部的双向传递子系统。（2）或包含一个具有非空内部的拓扑传递子系统；或X中存在一个f-不变的无处稠密闭子集A，其吸引盆包含一个开集的剩余子集且其强吸引盆在该剩余子集中稠密。（3）如果X是完全正则的，则(X,f)必包含一个具有非空内部的、周期点稠密的且具有正拓扑熵的相对强混合子系统。其次我们构造了一个具有零拓扑熵的敏感的dendrite映射，这个例子说明敏感的区间映射必有正拓扑熵这一结论对dendrite映射不成立。. 本项目的研究丰富了连续统上群和半群作用的动力系统理论的研究成果。