高维杨-巴克斯特方程研究及其在量子纠缠中的应用

Quantum entangled states are important resources in quantum information theory, however there are lots of problems in the description of quantum entangled states. The so-called Yang - Baxter equation (YBE) reflects the exchange properties of nearest-neighbor lattice, which provides a mathematical language to describe quantum entanglement. In this work, based on the theory of YBE, quantum entanglement will be studied, and then we will reveal the properties of quantum entanglement. Our research ideas are as follows: first, according to the degeneration of topological parameters and the number of independent eigenvalues of braid matrix, we will study the classification of Birman-Wenzl (B-W) algebra, and then its representations in the topological space will be studied; By means of topological basis, the relations between the representations of B-W algebra on the topological space and its representations on the tensor product space will also be studied. Based on this, an approach to construct high-dimensional B-W algebra is expected to propose; then we will study the quantum entanglement properties of B-W algebra and R matrices and we will reveal the roles of exchange properties of nearest-neighbor lattice, degeneration of topological parameters and the spectral parameters to describe quantum entanglement. In addition, we will also generalize YBE to many-body YBE, which allows us to study the properties of high dimensional many-body entangled states. Based on these studies, the properties of quantum entanglement will be studied, and finally we will propose a reasonable method to calculate the degree of entanglement. The research of this subject is expected to open a novel route and provide a novel approach to the description of high-dimensional many-body quantum entanglement.

量子纠缠态是量子信息科学中的重要资源，但目前对量子纠缠态的描述仍然存在很多问题。杨-巴克斯特方程（YBE）反映了近邻格点之间的交换性质，这为量子纠缠态的描述提供了数学语言，本项目将借助以YBE为中心的理论来深入研究量子纠缠态，并揭示量子纠缠态的性质。研究思路为：首先根据拓扑参数的简并情况、辫子矩阵独立本征值个数对Birman-Wenzl（B-W）代数进行分类，并分别研究其在拓扑空间上的表示；然后以拓扑基为桥梁，研究不同情况下B-W代数在拓扑空间上的表示与张量积空间上表示的关系，在此基础上提出构造高维B-W代数的方法；进而研究不同类别的B-W代数和R矩阵的量子纠缠性质，揭示近邻交换性质、拓扑参数简并情况、谱参数在描述量子纠缠方面的作用。此外，我们还将研究YBE的多体推广，并借此研究高维多体量子纠缠态的性质。本课题将为利用YBE描述高维多体量子纠缠态性质方面的研究提供新的思路和数学方法。

量子纠缠态是量子信息科学中的重要资源，但目前对量子纠缠态的描述仍然存在很多问题。杨一巴克斯特方程(YBE)反映了近邻格点之间的交换性质，这为量子纠缠态的描述提供了数学语言，本项目借助以YBE为中心的理论来深入研究量子纠缠态，并揭示量子纠缠态的性质。主要研究内容为：（1）研究辫子代数、Temperley-Lieb代数的高维表示，并借助辫子代数的高维表示研究了其与多体高维纠缠基的关系；（2）借助拓扑基理论研究与Birman-Wenzl代数相关的R矩阵，并探寻这些表示在量子纠缠方面的价值；（3）研究了拓扑基在一些自旋链模型求解方面的应用；（4）我们还结合具体的物理系统，研究了一些具体物理系统中的量子信息处理。通过研究，我们取得了如下研究成果：（1）将辫子代数推广到了高维多体情况，并研究推广的辫子矩阵与多体量子纠缠之间的关系；（2）得到了Birman-Wenzl代数的自旋1/2实现，并借助该表示研究了R矩阵在纠缠态描述方面的应用；（3）进一步拓宽了拓扑基在自旋链求解方面的应用，将拓扑基理论应用到了XXZ模型，以及带有DM相互作用的XXZ模型的求解。这些研究结果为利用YBE描述高维多体量子纠缠态性质方面的研究提供新的思路和数学方法。