有限2-测地线传递图的研究

The study of the connections between permutation groups and combinatorial structures is an active research topic in both algebra and combinatorics. One interesting and important area is the study of combinatorial structures which have symmetric properties, for instance symmetric graphs. This project studies one particular family of symmetric graphs, namely the family of finite 2-geodesic transitive graphs. This research project follows the applicant's PHD thesis in Australia. The study of finite 2-geodesic transitive graphs was initiated in his PHD thesis, and is completely new. In this project, we investigate the following problems: 1.Study 2-geodesic transitive graphs of valency 6 and give a classification; 2. The applicant determined the local structures of the family of 2-geodesic transitive graphs and also gave a preliminary study of the locally disconnected case. We will continue the study of the family of locally disconnected 2-geodesic transitive graphs and also investigate its relation with finite geometries. 3. Study the family of locally connected 2-geodesic transitive graphs. These results will make a contribution to the development of the symmetric graph theory and permutation group theory.

将置换群与组合结构联系起来进行研究是目前国际上代数学与组合数学交叉研究中的一个十分活跃的领域。这其中一个具有重要意义的研究方向是对于具有良好对称性的组合结构的研究，例如对称图的研究。本项申请是利用置换群研究一类特殊的对称图:有限2-测地线传递图。这个研究内容承接了申请人在澳大利亚刚完成的博士项目。有限2-测地线传递图的概念是申请人在其博士论文中首次定义并研究的，是一个具有完全创新性的研究内容。本项目具体研究内容如下: 1.分类6度2-测地线传递图；2.申请人在其博士论文里面决定了2-测地线传递图的局部结构的所有可能性并对局部不连通的图进行了初步研究。我们继续研究这些图里面局部不连通的图所具有的性质以及它们和有限几何之间的联系；3.研究局部连通的2-测地线传递图。这些研究成果可望为对称图理论和置换群理论的发展做出贡献。

将置换群与组合结构联系起来进行研究是目前国际上代数学与组合数学交叉研究中的一个十分活跃的领域。这其中一个具有重要意义的研究方向是对于具有良好对称性的组合结构的研究，例如对称图的研究。本项目中我们是利用置换群研究有限2-测地线传递图，具体研究了如下内容: 分类了6度2-测地线传递图；研究了2-测地线传递图里面局部不连通的图所具有的性质；研究了具有2-测地线传递性的正规Cayley图；研究了具有2-测地线传递性的交换Cayley图；比较了图的s-测地线传递性和s-弧传递性之间的关系；分类了素数度的2-测地线传递但不是2-弧传递的图；研究了2倍素数度的2-测地线传递但不是2-弧传递的图；研究了3-测地线传递但不是3-弧传递的图。这些结果使我们更深入的了解有限2-测地线传递图，其中使用到的一些方法和技巧也为研究其它对称图类提供了借鉴。