偏微分方程最优控制问题的预处理算法研究

Solving optimization problems subject to constraints given in terms of partial differential equations with additional constraints on the controls and/or states is one of the most challenging problems in the context of industrial, medical and economical applications. After proper discretization, a large scale system of linear equations is required to be solved. The development of efficient and robust algorithms for solving such kind of linear systems has received increasing attention. The purpose of this project is to design efficient and reliable preconditioning iterative methods for such kind of large scale linear systems. More precisely, we will consider the following problems: (1) the development of preconditioners which is insensitive to the mesh size for the optimization problems with convection diffusion equation constraints; (2) the development of preconditioners which is insensitive not only to the mesh size but also to the regularization parameter inherent in the problems for the optimization problems with elliptic partial differential equation constraints or convection diffusion equation constraints; (3) the preconditioning iterative methods for the time-dependent optimal control problems, and (4) the solution of the problems in three dimensions and the development of parallel algorithms.

偏微分方程约束最优控制问题在工业、医药、经济等领域中有着广泛的应用背景,关于这类问题的数值方法研究受到越来越多的关注，已成为当前科学计算领域的一个非常活跃的研究课题。对该问题进行数值求解时，我们需要求解一个大规模的线性方程组。如何高效地求解这类大规模线性方程组是求解最优控制问题的最关键部分之一。本项目主要研究这类线性方程组的高效预处理迭代算法，拟研究内容具体如下：（1）针对对流扩散方程最优控制问题，基于系数矩阵的特殊结构，讨论和构造不同离散方法所得到的线性方程组的预处理方法。（2）针对椭圆方程最优控制问题，讨论和构造收敛效果既不受网格步长影响，也不受正则化参数影响的预处理算法。（3）研究非稳态的偏微分方程最优控制问题的预处理算法。（4）探索三维问题的数值计算与并行算法。

带偏微分方程约束的最优控制问题经过适当的方法离散后，通常需要求解一个大规模的结构线性方程组。（1）我们考虑了对流扩散方程最优控制问题。采用先离散后优化的处理方法，我们研究了近似块对角和近似块三角预处理子的构造及其性质，并进行了数值测试。同时，我们也考虑了先优化后离散策略，提出了基于 Schilder不完全分解的预处理方法。（2）我们考虑了一类加权最小二乘问题的数值求解方法。结合矩阵分裂技巧和交替方向迭代思想，我们提出了一类带参数的矩阵分裂预处理方法，不仅在理论上给出了预处理后系数矩阵的特征值分布情况，还给出了近似最优参数的选取方法，大大提高了预处理方法的实用性。数值结果表明，新提出的预处理方法有着非常好的加速效果。（3）我们考虑了分数阶扩散方程的预处理算法。针对稳态问题，我们提出了一类缩放循环预处理子，并证明了预处理子与原系数矩阵之间相差一个低秩矩阵与小范数矩阵之和，数值结果表明，新提出的预处理方法对一维和二维问题都非常有效。同时，我们也考虑了非稳态情形，基于问题的特殊结构和线性插值技术，我们构造出了一类逆近似预处理子，并结合循环矩阵近似和快速傅里叶变换，有效地提高了方法的执行效率，同时在理论上证明了预处理后系数矩阵特征值的聚集性，这说明预处理方法具有最优性。数值算例也表明，新提出的预处理方法非常有效。（4）我们研究了张量的特征值计算。针对对称张量的H特征值问题，我们提出了带位移的幂迭代方法，在理论上证明了算法的局部收敛性，并详细刻画了哪些H特征值能被找到，哪些不能被找到。