统计收敛的测度表示和有限可加测度的算子表示

Based on functional analysis, convex analysis, geometric nonlinear functional analysis and measure theory, the aim of the project is to study, totally or partial solve the following questions: (1) the use of functional analysis to show a new operator representation of vector-valued finitely additive measures; (2) measure representation of ideal convergence in local covex spaces; (3) the use of statistical convergence to characterize some feature such as weakl compactness of sets in local covex spaces. This is not only some breakthrough in theory and application of the above-mentioned branch, but also we’ll take a different research method to combine the problem mentioned above with the main line of the study in finitely additive measures valued in Banach space. These results will be a new content in space theory, nonlinear analysis and measure theory.?

本项目属泛函分析、凸分析、几何非线性泛函分析和测度论的范畴，旨在研究、解决或部分解决下列几个问题：（1）采用泛函分析手段给出向量值有限可加测度的一种新的算子表示；（2）一般局部凸空间中理想收敛的测度表示；（3）在局部凸空间中，用统计收敛给出空间的一些特性，如集合弱紧性的刻画。这不仅在理论上和应用上对于上述分支有一定程度的突破，而且在方法上将采取与前人不同的研究思路，把上述三类问题，以取值于Banach空间中的有限可加测度研究为主线将它们有机结合在一起。这些结果将是空间理论，非线性分析理论和测度理论的崭新内容。??

统计收敛作为收敛的推广发源于上世纪50年代，进入上世纪90年代成为一个相当活跃的领域，各种对统计收敛及其推广，如A-统计收敛、缺项统计收敛、理想收敛等等，的研究层出不穷。本项目致力于目前“最广”的一类推广：理想收敛（亦记为I-收敛），做了如下工作：在Banach空间中利用序列的I-收敛与I*-收敛给出理想I具可加性质（AP）的充要条件，并进一步研究在弱拓扑下I-收敛、I*-收敛与一致I*-收敛的关系，且利用凸组合给出弱I-收敛与一般收敛之间的关系；定义了一类比I-收敛更广泛的收敛：I-A-统计收敛，给出其等价的测度表示，并刻画其与I-A-可和性之间的差异；对向量值有限可加测度，针对两种不同形式的测度表示定理分别给出相应的新的算子表示，并利用Yosida-Hewitt分解定理，实现其对应算子的分解，完成对有限可加测度的细致分类。