对称张量特征值问题的高性能算法、理论及应用

Symmetric tensor eigenvalue problem, a significant generalization of matrix eigenvalue problem, has many applications in signal and image processing, magnetic resonance imaging, wireless communication and so on. The research on high- performance algorithms and ralated fundamental theory for this problem has not only significant meaning in mathematical theory but also important value in pracitical applications. .Based on supersymmetry (or partly symmetry or weak symmetry) and positive definiteness of high order tensor and orthogonal invariance of tensor eigenvalues, by analogy this project will study several high-performance algorithms for symmetric tensor eigenvalue problem，ralted theory and their applications in many practical problems ralted to signal and image processing. More specifically, 1) some high-performance algorithms for supersymmetric tensor eigenvalue problem such as symmetric high order power method, Krylov subspace method and as well as gradient projiection method and related theory will be proposed and studied; 2) the algorithms and theory obtained by 1) will be generalized to partly symmtric tensor (or weak symmetric) tensor eigenvalue problem; 3) according to specific requirement to solve numerically some practical probmes related to signal and image processing, application programs of related algorithms will be made up and the algorithms will be improved based on the effects for the algorithm will be applied. .The goal of this project is to improve and design high-performance algorithms for symmetric tensor eigenvaule problem, establish and complement the fundamental theory of related algorithms.

对称张量特征值问题是矩阵特征值问题在高阶(阶数≥3)张量中的重要推广,在信号和图像处理、核磁共振成像和无线通信等问题中有广泛的应用。对此问题的高性能算法及相关理论的研究,不仅具有重要的理论意义,而且具有重要的应用价值。.本项目基于高阶张量的超对称性（或弱对称性或偏对称性）和正定性及张量特征值的正交不变性,采用类比的思想，研究对称张量特征值的高性能算法及相关基础理论,并对算法在信号和图像处理等问题中的应用进行研究。具体为: 1）研究超对称张量特征值问题的对称高阶幂法、Krylov子空间方法和梯度投影法等算法及相关理论；2）将1)的算法和相关理论推广到偏对称(或弱对称)张量特征值问题；3）根据信号和图像处理等问题数值求解的具体要求，编制相关算法的应用程序，并依据应用效果对算法进行完善。.本项目的研究目标是改进和设计数值求解对称张量部分或者全部特征值的高性能算法，建立和完善相关算法的基础理论。

高阶张量特征值问题是矩阵特征值问题在高阶(阶数≥3)张量中的重要推广,在信号和图像处理、核磁共振成像和无线通信等问题中有广泛的应用。对此问题的高性能算法及相关理论的研究,不仅具有重要的理论意义,而且具有重要的应用价值。.本项目重点研究了高阶对称张量特征值的高性能算法及相关基础理论，还研究了非负张量、M-张量和H-张量等特殊张量特征值的理论和算法。取得的具体成果如下：.1）基于高阶张量的超对称性（或弱对称性或偏对称性）和正定性及张量特征值的正交不变性,采用类比的思想，建立了高阶实对称张量的Rayleigh-Ritz定理、Courant-Fischer 定理、Weyl定理、interlacing 定理等实对称张量的变分特征定理；提出并证明了实对称张量特征值的分布区域、扰动分析、上下界估计等数值性质；高阶实对称张量谱半径的张量范数性质；研究了二阶对称张量（对称矩阵）在非参数M-型回归估计的应用；研究高阶实对称张量对的广义特征值分布及估计。研究了高阶对称张量的秩一逼近和相关算法，求出张量的部分特征值。 基于上述理论，构建了求解高阶对称张量（广义）特征值的序列正交-位移对称高阶乘幂法(SR-SS-HOPM)、斯蒂芬森移位对称高阶幂法(SSS- HOPM)、拟牛顿法和Krylov-Schur方法；数值实验表明了这些方法的有效性。.2）在研究张量范数的基础上，提出了并证明了谱半径具有的张量范数性质的张量；给出了非负张量、M-张量和H-张量等特殊张量（广义）特征值的分布区域与定位、扰动分析、上下界估计等数值性质；研究了非严格对角占优矩阵和一般H-矩阵理论和数值性质。.3）提出解决线性互补问题的两步迭代法并证明其收敛性；研究了张量互补问题的可解的充要条件，构建了求解张量互补问题的两步迭代法，证明了其收敛性。数值实验表明该方法的有效性。.4）研究了对称半定张量、非负张量、M-张量和H-张量等特殊张量的Schur积定理，并研究了这些特殊张量各自Schur积特征值的分布区域与定位、扰动分析、上下界估计等数值性质。.5）研究了高阶正方张量（广义）H-特征值的包含区域和扰动估计，提出了极小Gerschgorin圆盘，证明了任意正方张量的所有（广义）特征值都包含在它的极小Gerschgorin圆盘中。.6) 研究了所得算法在信号和图像处理等问题中的应用。