关于可积几何曲线流的研究

The main object of this project is integrable curve flows in homogeneous spaces. Invariants of curves in certain mainfolds are depended on group actions on the base manifold. Different group actions leads to different types of curve invariants, therein different geometry properties. We will start from the group actions and moving frame, built up a systematic method to study the correspondence between curve flows and equations of both KdV and mKdV types associated to each (affine) Kac- Moody algebra. This would be one of most important parts of this project . And studying integrable equations from differential geometry and algebra splitting point of view is one innovation of this project. We will give geometric flow interpretation for equations of KdV and mKdV types. Moreover, by constructing Bäcklund transformation , we can get explicit solutions to our curves flows and study the geometric properties of these curves flow solutions corresponding to both soliton and non-soliton invariants . Another part of this project is Hamiltonian formulization, we will construct bi-Hamiltonian structures for the curve flows and discuss the gemetirc meaning of conserve quantities. This project will help us in a better understanding of the geometric background of integrable systems. It will also help in the classification problem for both soltion equations and curves in manifolds.

本项目的主要研究对象是齐性空间上的可积曲线流。对于几何空间中的曲线，其不变量依赖于空间中的群作用。我们将从这一角度出发，通过考虑几类空间（如仿射空间）上的群作用，研究在这些群作用下曲线的几何性质。通过建立KdV型和mKdV方程与Kac-Moody 代数之间的对应，我们将建立一个系统的框架研究这类方程与几何曲线流的对应。这是本项目的一个重点和难点，从微分几何与代数分解的角度来研究可积方程是本项目的主要创新之处。我们将给出KdV型和mKdV方程的曲线流解释。通过Bäcklund变换，我们将给出曲线流的显示解，进而研究不同类型的不变量下曲线的几何性质。Hamiltonian 公示化也是本项目的一个重点，我们将构造曲线流的双Hamiltonian结构，讨论守恒率的几何意义。本项目的研究将有助于更深刻系统的理解可积系统的几何背景，同时为可积方程以及不同空间中的曲线分类问题提供新的思路。

本项目主要研究Kac-Moody代数对应的几何曲线流。我们建立了一个框架系统地构造可积曲线流。从群作用与活动标架出发，我们研究曲线的几何不变量。通过对子流形切空间的刻画，我们构造曲线流。曲线流的解满足Kac-Moody代数对应的KdV型方程。在这一框架的基础上，我们主要研究了n维仿射空间上的中心仿射曲线流，其几何不变量（中心仿射曲率）是Gelfand-Dickey序列中的方程的解。在此基础上，我们求解了中心仿射曲线流的两类柯西问题（具有速降曲率的初值以及周期曲率的初值）。通过构造Gelfand-Dickey序列的Backlund变换，我们给出了n维空间中的中心仿射曲线流的Backlund变化，以及交换公式，从而构造出无穷多族的显式解。在这一工作中，我们给出了中心仿射曲线流的双哈密顿结构以及守恒律。本项目还研究通过Lie代数分解的方法，构造可积系统的非局域约化。希望能够建立这一类系统的几何对应，为今后的几何问题的研究提供帮助。具体的说，系统地构造了导数薛定谔型的方程族，以及PT对称的薛定谔型和导数薛定谔型的方程族。这一系列的研究将帮助我们更深入地了解微分几何与可积系统之间的联系，通过可积系统的理论研究曲线或者曲面问题，为几何对象的研究提供新的思路。