复微分方程及其应用

We will research the singularity of the solutions of complex differential equations, the existences of the solutions of entire, meromorphic and algebroid functions. We will try to find the entire, meromorphic and algebroid solutions of some complex differential equations, for example, Briot-Bouquet differential equations, Schwarzian differential equations，Riccati differential equations and Lame differential equations. We will also research the Malmquist type Theorems of the second order and higher order nonlinear differential equations. We will mainly research the applications in Nevanlinna theory, partial differential equations and complex dynamics.

我们将研究复微分方程解的奇异性，研究复微分方程整函数解，亚纯函数解和代数体函数解的存在性。我们将求解Briot-Bouquet微分方程，Schwarzian微分方程，Riccati微分方程和Lame 微分方程等一些复微分方程的整函数解，亚纯函数解和代数体函数解。我们将研究二阶及高阶非线性微分方程的Malmquist型定理。我们将重点研究复微分方程在Nevanlinna理论，偏微分方程和复动力系统中的应用。

复微分方程是复分析中一个重要研究分支，利用Nevanlinna 理论和复分析中的一些工具我们研究复微分方程及其相关领域的一些问题。我们研究了一些特殊的复微分方程的亚纯函数解，例如，Briot-Bouquet微分方程，施瓦茨微分方程。我们给出了两类Briot-Bouquet微分方程具有解的充分必要条件，并给出了其解的精确形式，我们得到了自守施瓦茨微分方程具有亚纯函数解的充分必要条件，并给出了其亚纯函数解的精确形式。我们研究了具有整体解的非线性复微分方程的简化，得到了一个关于高阶非线性复微分方程的Malmquist-Yosida型定理。我们研究了决定项比较少的非线性微分方程的亚纯解，我们讨论了决定项是函数的n次幂的非线性微分方程，得到了一系列结果。特别，我们将原来系数是有理函数的结果推广到了小函数的情况。我们研究了复微分差分方程亚纯解的存在性，得到了一类非线性复微分差分方程亚纯解的具体形式。我们研究了涉及微分，差分的亚纯函数的值分布问题，得到了一系列结果。同时，我们研究了亚纯函数与整函数的复动力系统，我们研究了一类包含McMullen映射的有理函数的动力系统性质，搞清楚了这类有理函数的Julia集的分类，证明了这类有理函数的Julia集或者是拟圆周或者是圆周的Cantor集或者是Sierpinski地毯。并给出了这类有理函数Julia集Hausdorff维数的估计，我们研究了一类周期函数的复动力系统性质，证明了正弦函数族快速逃逸集的余集在宽度为2π的平行带形具有有限的面积。这说明正弦函数族的Julia集在宽度为2π的平行带形具有无限的面积。