流固耦合散射问题的数学理论与数值算法

The inverse fluid-solid interaction scattering problem is an important inverse problem of mathematics and Physics. It has many applications such as in radar detection, medical imaging and material science. This project will study the mathematical theory and numerical methods for the fluid-solid interaction scattering problems with unknown embedded obstacles inside. By using a kind of coupling of field and boundary integral equation method, we obtain the existence, uniqueness and uniformly boundedness of solutions for the direct scattering problem. Relying on a novel local analysis technique, a method based on the analysis of lower frequencies and the obtained uniformly boundedness of solutions, we prove the unique identification of the interaction interface, the unknown embedded obstacles and the scattering coefficients. Finally, by applying the truncation technique and the approximation method, introducing artificial operators with different properties, employing partial differential equation theory, we shall design some numerical algorithms to reconstruct the interaction interface, the unknown embedded obstacles and the scattering coefficients. Moreover, some numerical examples will be carried out to illustrate the effectiveness of inversion algorithms, and the related convergence and stability will also be analyzed. This project focuses on the studies of mathematical theory and methods motivated by practical applications, which has important academic value and practical significance.

流固耦合反散射问题是一类重要的数学物理反问题，在雷达探测、医学成像和材料科学等领域有广泛的应用。本项目拟研究带有未知障碍的流固耦合散射问题的数学理论及数值算法。首先，拟采用变分与边界积分方程耦合的方法，研究正问题解的适定性，并建立解的一致正则性估计。其次，拟发展局部分析的新颖技术，结合低频渐近分析的方法以及解的一致正则性估计，研究反问题中耦合曲面、未知障碍以及散射参数的唯一性理论。最后，拟采用截断技巧和近似逼近的手段，引入算子扰动理论，结合偏微方程理论，研究高效、稳定的数值方法重构耦合曲面、未知障碍、散射参数，给出具体数值模拟，并分析算法的收敛性和稳定性。本项目是应用数学驱动的理论和方法的研究，具有重要的学术价值和实际意义。

本项目主要围绕流固耦合反散射问题的数学理论和数值算法展开研究，该类问题是国际公认的热点和难点问题，在雷达技术、医学成像、遥感技术等领域有广泛、深刻的应用。项目负责人及合作者研究了周期结构的流固耦合反散射问题，仅利用流体的测量数据证明了周期结构的流固耦合界面反演的唯一性数学理论；研究了多层流固耦合反散射问题，基于流体的远场测量数据，证明了非齐次流体层和埋藏固体同时反演的全局唯一性结论；研究了非齐次腔体情形的反散射问题，基于内部近场测量数据，证明了腔体界面反演的唯一性数学理论和数值反演的直接成像算法；基于上述研究完成的学术论文发表在SIAM J. Imaging. Sci.、Inverse Problems、J. Inverse Ill-Pose. P.、J. Comput. Math.、Acta Math. Appl. Sin-E.等学术期刊；研究了局部粗糙无穷曲面散射问题，提出了新颖的积分方程方法，建立了该类散射问题高效、稳定的数值计算框架，基于提出的积分算子，给出了局部粗糙无穷曲面反演的数值算法，实施了数值试验，相关工作发表在SIAM J. Sci. Comput.；发展了分块复杂介质反演的近似分解方法，完成的学术论文发表在Inverse Problems；研究了非齐次电磁散射问题，提出了局部分析思想，结合解的先验估计，证明了基于单频数据同时反演掩埋障碍及其背景介质的第一个唯一性结论，完成的学术论文发表在Inverse Problems。