模糊偏序集的完备化和模糊序超半群理论研究

Fuzzy orders are a highly applicable and powerful tool to the real-world fuzzy or uncertain models, which gives a broader application background to the combination of fuzzy order, Domain and ordered semigroup algebra. This research project intends to further explore fuzzy Domain and fuzzy ordered semigroup theory under the framework of fuzzy orders. The main research focuses of the project are as follows: 1) establish the D-completeness and Z-completeness of fuzzy posets through the expansion of the universal property, and study the invariances of these two types of completeness utilizing fuzzy closure operators; 2) construct fuzzy ordered semihypergroups based on fuzzy orders, study their fuzzy hyperideals and fuzzy ordered congruencies by fuzzy points and fuzzy quasiorders, and generalize some related results in the classical ordered semihypergroup theory. This research advances the theory of fuzzy Domain and fuzzy ordered algebra and provides a rudimentary method of generalizing Domain and ordered semigroup theory.

模糊序是处理现实世界中的模糊或不确定性模型的一种强有力的工具，这使模糊序与Domain和序半群代数的有机结合有着更广泛的应用背景。本项目拟在模糊序框架下进一步对模糊Domain与模糊序半群理论展开研究，主要内容如下：(1)通过具有万有性质的扩张建立模糊偏序集的D-完备化和Z-完备化，并借助模糊闭包算子研究该两种完备化的不变性；(2)致力于构造基于模糊序的模糊序超半群，并通过模糊点和模糊拟序对其上的模糊超理想和模糊序同余展开研究，推广经典序超半群理论中的一些相关结果。此研究不但会丰富和发展模糊Domain与模糊序代数理论，还可为Domain与序半群理论的推广提供基础性的方法。

为了拓广模糊序的应用背景，本项目通过将其与Domain和序半群代数的有机结合对模糊Domain理论与模糊序半群理论展开了研究。首先，借助模糊子集系统和模糊子集选择构建了模糊偏序集的两类完备化，特别是借助模糊闭包算子研究了这两类完备化的不变性以及从范畴的角度讨论了定向完备模糊偏序集范畴的faithful问题。其次，构造了模糊超半群的新模型--L-序L-超半群及其上的各类模糊超理想和正则性，证明了L-序L-超半群的L-超理想是弱素的当且仅当它们是幂等的并形成一个弱链以及L-序L-超半群的L-超理想是素的当且仅当它们形成弱链且L-序L-超半群是内正则的。最后，借鉴模糊拓扑的研究方法，建立了与模糊序模糊凸空间范畴同构的三种空间，并构建了模糊凸滤子的一种新模型，证明了由此构造的模糊序模糊收敛空间范畴是拓扑的。相关成果既丰富和发展了模糊Domain理论与模糊序代数理论的基本内涵，又提供了模糊凸空间理论与应用的新思路和新方法。