系数变号的广义Abel方程的几何性质与周期解问题

The generalized Abel equations is an important type of equations in qualitative theory of differential equations. It is not only a powerful tool in dealing with the problems for isolated closed orbits and bifurcations of differential systems, but also extensively applied in the biological studies (for instance, harvesting model). Under these backgrounds, the investigations on the periodic solutions of generalized Abel equations with coefficients changing signs are mainly concerned. However, they are hard to deal with by the classical methods. Our preliminary works imply that the geometric properties and the periodic solutions are closely related for some kinds of generalized Abel equations. This proposal is going to investigate the generalized Abel equations with coefficients of indefinite signs, and explore the following problems via characterizing the geometric properties of such equations: (1) the relation between the isolated periodic solutions and the coefficients of the equations, and the upper bound estimates for the number of the isolated periodic solutions; (2) the geometric conditions such that the equations have a center, and the bifurcations from the center; (3) the isolated closed orbits and degenerated Hopf bifurcations from some kinds of 2-D and 3-D polynomial systems, by applying the results of problems (1) and (2). The studies of these problems will lead us a deeper understanding of the generalized Abel equations, and improve the theoretical basis for investigations of differential systems.

广义Abel方程是微分方程定性理论中的一类重要方程，它既是研究微分系统孤立闭轨与分支的有力工具，亦在生物学领域中有广泛的应用（如种群捕获模型）。在实际中，具有变号系数的广义Abel方程的周期解问题是人们尤为关心的，但其研究存在经典方法难以处理的困难。我们前期工作表明，某些广义Abel方程的几何性态与方程周期解有密切联系。本项目拟以此为基础，通过深入刻画系数变号的广义Abel 方程的几何性态，探讨以下问题：（1）方程系数与孤立周期解的关系，以及孤立周期解个数的上界估计；（2）方程存在中心的几何条件，以及中心的分支问题；（3）问题（1）、（2）的结果在一些特殊二、三维多项式系统的退化Hopf分支与孤立闭轨问题上的应用。以上研究将加深对广义Abel 方程的了解，为微分系统的研究提供更完善的理论基础。

本项目主要通过探讨系数变号的广义Abel 方程的几何性态，研究方程的周期解问题以及方程在二维系统上的应用。在执行期间，项目主持人及成员首先研究了广义Abel方程的向量场与某些曲线的横截/相切现象。当这些横截/相切现象发生的时候，项目组获得了方程孤立周期解个数的若干上界估计。此部分的研究不仅一定程度上揭示了方程的几何条件与孤立周期解之间的联系，同时也避免了经典结论中对方程系数符号的限制，推广了前人的工作。此外，对于部分系数保号的Abel方程，项目组也利用这些估计原则得到了一些不平凡的结论（如对方程x’=a_3(t)x^3+a_2(t)x^2+a_1(t)x+a_0(t),当系数a_2a_0<0时方程孤立周期解至多4个且上界精确）。相关工作已整理成论文，其中两篇分别发表于JMAA与NoDEA，另有一篇虽未正式发表，但已经被成功被国外论文引用。. 其次，项目主持人与成员应用上述研究结果研究了一类被广泛关注的平面多项式向量场X=X_n+X_m，其中X_n,X_m为n,m齐次/向量场。我们获得了一些该向量场对应系统的极限环的新的唯一性原则。这方面的工作一部分收录在上述论文中，另一部分有待发表。此外，项目组成员还对拟齐次向量场的分类问题进行了探讨，相关结果已发表于QTDS。. 为了研究广义Abel方程的分支问题，项目组成员与国外学者Joan Torregrosa合作探讨李雅普诺夫常数的计算，获得了一种高效的并行算法。相关工作已发表于JDE与QTDS。另外，项目主持人与Joan Torregrosa、Jordi Villadelprat等学者合作研究一类三角多项式系数的Abel方程的中心/Hopf分支问题。. 以本项目主持人及其参与成员为作者撰写的论文，已接收/发表SCI论文5篇，投稿在审论文2篇。