环论及其相关领域的历史研究

As an important part of abstract algebra, ring theory is mainly composed of commutative ring theory and non-commutative ring theory. Focusing on its characteristics from 19th century through 1930s, this project aims at four aspects: fundamental concepts, relevant theories, cross applications, and key mathematicians. We will excavate and select valuable historical materials of ring theory and its relevant fields, especially the original literatures and primary sources; conduct research on the evolution of the fundamental concepts —— ring, ideal, associative ring, non-associative ring, Dedekind ring, Noetherian ring and etc. —— using the conceptual analysis method of school of the thought history; discuss and summarize its methods, approaches and outlines of the theory, such as commutative ring theory, non-commutative ring theory, ideal theory, associative ring theory and non-associative ring theory based on its fundamental concepts; investigate the interactions and the applications among these subjects: ring theory, group theory, field theory, algebraic geometry, as well as physics; write biographies of the important mathematicians in ring theory and its relevant fields, among those are A. Fraenkel, E.Lasker, F.S.Macaulay, and E.Steinitz. All these researches on ring theory and its relevant fields in this time period will deepen our knowledge of mathematical foundations while strengthening the connections of interdisciplinary fields. Meanwhile, it will provide beneficial references towards the understanding and comprehension of mathematics in general as well.

环论是抽象代数学的重要组成部分，主要分为交换环理论和非交换环理论。本项目针对从19世纪到20世纪二、三十年代的环论的特点，从其基本概念、相关理论、交叉应用及关键人物四个方面进行研究。深入挖掘和筛选有价值的环论及其相关领域的史料，特别是数学家的一手资料、原始文献；用思想史学派的概念分析法研究环、理想、结合环、非结合环、戴德金环、诺特环等基本概念的起源和发展；探讨和总结在这些基本概念基础上形成的交换环理论、非交换环理论、理想理论、结合环和非结合环理论的研究方法、手段、路线；考察学科的交叉应用，以环论与群论、域论、代数几何、物理学之间的交叉应用为典型代表对其学科间的交叉应用进行研究；对环论及其相关领域有重要贡献的数学家树碑立传，如弗兰克尔、拉斯克尔、麦考莱、斯坦尼兹。对环论及其相关领域从19世纪到20世纪二、三十年代的研究，可深化知识间的联系，强化学科间交叉，为理解和把握数学提供有益的借鉴。

本项目针对从19世纪到20世纪二、三十年代的环论的特点，从其基本概念、相关理论、交叉应用及关键人物四个方面进行了研究。共计发表论文21篇。主要研究结果和结论为：（1）揭示了交换环论在代数几何和不变量理论中产生的历史过程，特别是希尔伯特所证明的基定理和零点定理、拉斯克尔和麦考莱的准素理想及其准素分解理论。（2）分析了弗兰克尔是如何在洛伊、亨泽尔、希尔伯特、斯坦尼兹和策梅洛这些学术大家的指引和帮助下走上数学创新的正确道路，并用公理化思想来研究交换环论。认为弗兰克尔以环等数学实例研究实践了公理化思想，用公理化思想把新兴的数学推上了更高的理论层次，为其进一步发展做出了铺垫，公理化、抽象化是他从事数学研究的核心思想，也是他在集合论的公理化研究能够集就大成的一个重要因素。（3）分析了爱米·诺特为何从不变量论转到交换环论的研究，并且揭示了爱米·诺特通过对升链条件的重视与应用，完成对抽象环，特别是诺特环的公理刻画，从而建立起抽象交换环论，并促使抽象代数学这门学科正式建立起来。（4）在非交换环论的起源和发展方面，阐述了其起源于复数扩张到各种不同的超复数系的研究。（5）论述了环论与群论、域论、代数几何、模范畴、物理学以及格论的关系等，认为环论从其产生伊始，就和应用相伴在一起，在环论发展相对完善之后，其逐渐提高的理论层次使得它的应用范围更加广阔，深入到数学的各个分支，并且与这些分支的关系密切而自然，彼此间的相互渗透和交互影响将是未来发展的一大趋势。