高维图像处理中低秩张量逼近的优化模型及算法研究

Low-rank tensor approximation is a hot and challenging issue in high-dimensional image processing. A popular method is to minimize the sum of the nuclear norms of the unfolding matrices of a tensor. However, this method is just suboptimal and does not contain the properties of images. In order to get a recovery with high accuracy, this project plans to carry out the following researches. Firstly, a nonconvex low-rank tensor approximation model will be proposed. Then its error bound will be established, which shows the effectiveness of the proposed model in theory. Moreover, an efficient algorithm based on linearizing the nonconvex functions will be presented. The global convergence of this algorithm can also be established by nonconvex optimization. Secondly, this project will propose a model based on tensor train (TT) rank for low-rank tensor recovery. An alternating minimization algorithm will be presented to solve the resulting model. Thirdly, based on high-order total variation, this project will propose a model for low-rank tensor approximation in high-dimensional image recovery. Moreover, some properties of the proposed model will be established. The linearized alternating minimization algorithm and convergent multi-block alternating direction method of multipliers will be presented to solve the resulting model. Then the convergence of the proposed algorithm can also be established. Finally, based on low-rank tensor approximation, models and algorithms with Gaussian noise and impulse noise removal will be proposed in high-dimensional image recovery. This project will build effective methods and efficient algorithms for low-rank tensor approximation in high-dimensional image processing. It is expected to provide theoretical supports for high-dimensional image recovery.

低秩张量逼近是当前高维图像处理中的一个难点和热点问题，常见的方法是最小化张量每个模展开所形成矩阵核范数的和，但是此方法仅仅是次优的，并且没有考虑高维图像的特征。为了得到高精度的解，本项目拟研究非凸的低秩张量逼近模型，分析模型的误差界，从理论上说明所提模型的有效性，基于线性化非凸函数的方法，提出有效的算法求解所提模型，利用非凸优化理论，分析算法的全局收敛性。然后研究基于TT秩的张量恢复模型，提出交替最小化算法求解所提模型。另外基于高阶全变分，研究高维图像恢复中低秩张量逼近的模型，分析模型解的特点，通过线性化非凸函数和收敛的多块交替方向方法求解所提模型，并分析算法的收敛性。最后基于低秩张量逼近，研究高维图像恢复中去高斯噪音和脉冲噪音的模型及算法。项目将最终构建高维图像处理中低秩张量逼近的有效模型和快速算法，有望为高维图像恢复提供理论支撑。

低秩张量逼近在图像处理、计算机视觉、机器学习等领域有广泛的应用。本项目研究了低秩张量逼近的优化模型、理论、算法，及其在高维图像处理中的应用。首先，研究了基于张量Tucker秩和tubal秩非凸模型，提出了两类非凸优化模型：基于张量展开最方矩阵的一类非凸优化模型，以及基于变换张量核范数的一类非局部非凸优化模型，随后设计了邻近（交替）线性化最小化算法求解相应非凸模型，并证明了算法的全局收敛性。其次，研究了基于张量火车（TT）秩的鲁棒张量主成分分析问题，提出了利用张量TT分解刻画张量低秩性的模型，设计了邻近交替方向方法求解该非凸模型，并证明了算法的收敛性。再次，研究了基于张量奇异值分解和张量核范数的鲁棒张量完备化模型和算法，具体包括：提出了对指数类型噪音张量完备化的校正张量核范数方法，建立了模型的误差上界，在合适的校正函数下，校正张量核范数模型的误差界比张量核范数的模型误差界更低；提出了基于变换张量核范数的鲁棒张量完备化方法，在合适的酉变化下，变换张量核范数所得的张量变换多线性秩更低，并证明了在张量不相干性条件下，变换张量核范数方法能够精确恢复张量；提出了基于张量全变分的鲁棒张量恢复模型，分别利用张量全变分和变换张量核范数刻画张量的局部光滑性和全局低秩性；对于去泊松噪音的张量完备化，提出了基于变换张量核范数约束的优化模型，建立了模型的误差界以及信息理论下界；基于变换张量核范数，提出了凸和非凸的图像对齐模型，设计了邻近的高斯-塞德尔算法求解非凸模型，并证明了算法的全局收敛性。最后，基于张量-张量乘积，提出了一般观察噪音下的稀疏非负张量分解的模型，分析了模型最优解与真实张量的误差，并建立了该问题的最小最大风险下界，证明其下界与所建立的误差上界仅仅相差对数因子倍，因而从理论上说明了该模型是几乎最优的。项目立足国际前沿的创新研究，为数据科学中张量数据恢复和去噪提供有效方法和理论保证。