具有非双倍测度的函数空间实变理论及其应用

The real variable theory of function spaces with non-doubling measures and its applications to mathematical fields such as harmonic analysis is an important topic in the recent research of harmonic analysis. The applicant and his co-operators have partially developed the real variable theory of Hardy spaces on Euclidean spaces with measures satisfying polynomial growth conditions and on non-homogeneous metric measure spaces satisfying upper doubling and geometrically doubling conditions. The applicant aims to further study the real variable theory of Hardy spaces and their localized versions, inhomogeneous Besov spaces and inhomogeneous Triebel spaces on Euclidean spaces with measures satisfying polynomial growth conditions, including the maximal functions characterizations of Hardy spaces and their localized versions, dual spaces, interpolation, embeddings, atomic and molecular decompositions of inhomogeneous Besov spaces and inhomogeneous Triebel spaces, to establish the real variable theory of Hardy spaces and their localized versions, Morrey spaces, (in)homogeneous Besov spaces and (in)homogeneous Triebel spaces, and the boundedness of singular integral operators, fractional integrals and their commutators on non-homogeneous metric measure spaces satisfying upper doubling and geometrically doubling conditions.

具有非双倍测度的函数空间实变理论及其在调和分析等数学领域中的应用是调和分析近几年来的一个重要研究课题. 申请人及其合作者已部分发展了具有多项式增长测度欧氏空间和满足上双倍和几何双倍条件的非齐型度量测度空间上的Hardy空间实变理论. 本项目将进一步研究具有多项式增长测度的欧氏空间上的Hardy空间及其局部化空间, 非齐次Besov 空间和非齐次Triebel空间的实变理论, 包括Hardy空间及其局部化空间的极大函数特征, 非齐次Besov 空间和非齐次Triebel空间的对偶空间、插值、嵌入、原子和分子分解, 建立满足上双倍和几何双倍条件的非齐型度量测度空间上的Hardy空间及其局部化空间, Morrey空间, (非)齐次Besov 空间和(非)齐次Triebel空间的实变理论, 以及奇异积分算子、分数次积分及其交换子等算子的有界性.

受项目资助期间,申请人和项目组其他成员及其合作者在赋予多项式增长测度的欧氏空间上,建立了Tolsa的BMO空间的逐点乘子的等价特征;在赋予Gauss测度的欧氏空间上,建立了一个Calderón-Zygmund型分解,好λ型不等式以及Mauceri-Meda的BMO型空间的一个John-Nirenberg不等式,从而得到了BMO空间的一个等价特征; 在满足上双倍和几何双倍条件的非齐型度量测度空间上, 建立了原子Hardy空间H1的一个等价特征, 引入了一类Hardy型空间, 并得到其对偶空间以及与H1的包含关系. 此外, 申请人及项目组其他成员还建立了经典Riesz变换交换子的加权Lp空间的紧性特征、Cauchy积分算子交换子在Morrey空间的有界性和紧性特征, Bessel Riesz变换交换子在加权Lp及Morrey空间上的有界性和紧性特征等; 建立了与Bessel算子和Schrödinger算子相关的变差等算子的加权Lp有界性; 引入并讨论了与算子相关的Musielak-Orlicz-Hardy空间、Musielak-Orlicz-Sobolev型空间和奇异积分算子在其上的有界性; 还得到了一些有界半凸域上Laplace方程、Schrödinger方程等的可解性及唯一性等.