向量优化问题的Hölder有效性及其应用研究

In this project, the Hölder efficiency of vector optimization problems with applications to the numerical iterative algorithm will be investigated. By virtue of set-valued and variational analysis methods, on the one hand, we shall introduce some appropriate generalized directional derivatives for vector-valued functions, make a detailed discussion on related properties and establish some characterizations for the Hölder efficiency of vector optimization problems in the primal space. On the other hand, considering the geometrical relationship among the subdifferential, the normal cone and the coderivative, we shall propose some appropriate subdifferentials for vector-valued functions, and moreover, obtain respectively some detailed descriptions for the Hölder efficiency and Hölder tilt-stable efficiency of vector optimization problems in the dual space, by means of the Hölder metric property for the subdifferential map. Simultaneously, we will apply the obtained results to the numerical iterative algorithm for vector optimization problems, and establish some quantitative convergence analysis. This research is not only a comprehensive application of multiple subjects such as convex analysis, set-valued and variational analysis, and vector optimization theory and algorithm, but also can be applied to provide decision-making basis for vector optimization problems widely existed in economic plans and government consultations.

本课题主要研究向量优化问题的Hölder有效性及其在数值迭代算法中的应用。借助集值与变分分析方法，一方面，适当引入向量值函数的广义方向导数结构，详细讨论其相关性质并在此基础上建立向量优化问题的Hölder有效性在原空间中的刻画；另一方面，鉴于次微分、法锥以及上导数之间的几何关系，拟适当引入向量值函数的次微分结构，并借助次微分映射的Hölder度量性质以及线性扰动形式，建立向量优化问题的Hölder有效性以及Hölder倾斜稳定有效性在对偶空间中的详细刻画。同时，将相关研究结果应用到向量优化问题的数值迭代算法中，建立相应收敛性的定量分析。本课题的研究不仅涉及凸分析，集值与变分分析以及向量优化理论与算法等多个学科的综合运用，并且能够为经济规划和政府咨询等领域中大量存在的向量优化问题提供决策依据。

本项目执行期间，项目组成员在向量优化问题的Hölder有效性以及相关结果在数值迭代算法收敛性分析中的具体应用等方面进行了深入细致的研究，得到了许多创新性研究成果。同时，积极拓展研究范围，对基金申请书中未提及的相关研究内容也做了适当的研究。在向量优化问题的Hölder有效性及其刻画方面，通过在原空间中引入适当的二阶广义相依锥以及集值映射的二阶复合相依上图导数，建立了约束向量优化问题Hölder有效性的无间隙形式的二阶必要和充分最优性条件；通过引入适当的二阶Abadie约束品性，建立了Borwein真有效解的二阶必要强Karush/Kuhn–Tucker条件以及Geoffrion真有效解的二阶充分强Karush/Kuhn–Tucker条件。同时，进一步建立了带等式与不等式约束向量优化问题局部有效解的二阶必要最优性条件以及局部Hölder有效解的二阶充分最优性条件；提出了带不等式约束向量优化问题的逼近强Karush/Kuhn–Tucker条件，并且在锥连续正则性假设条件下建立了逼近强Karush/Kuhn–Tucker条件的收敛性结果。同时，借助于逼近强Karush/Kuhn–Tucker条件建立了凸约束向量优化问题真有效解的充分最优性条件。在约束向量优化问题的像空间分析方法及其应用方面，借助像空间分析方法的思想，通过引入向量值形式的正则弱分离函数类，建立了约束向量优化问题的统一对偶模型，并讨论了原问题与对偶问题之间的弱对偶性质；借助分离途径，在带等式与不等式标量约束以及向量约束优化问题的像空间中，从分离函数的角度分别提出了统一形式的正则性条件并建立了相应的等价刻画；在抽象凸性框架下，提出了约束向量优化问题的共轭对偶模型并借助于次微分形式以及像空间中集合的分离形式，建立了零对偶间隙性质的等价刻画；最后，从最优性条件，对偶和罚函数法以及广义系统等三个方面详细论述了像空间分析方法的基本原理，思想方法及其重要的结论和应用。