相对论波尔兹曼方程若干问题的研究

本项目研究在各种不同条件下相对论波尔兹曼方程和相对论恩斯科格方程初值问题整体解的存在性和唯一性。设想给出某些硬碰撞假设或其它合理的假设，分别在闵可夫斯基时空中和在比安奇时空中探究在这些假设下初值较麦克斯韦分布小且初始能量无限的无外力的相对论波尔兹曼方程和相对论恩斯科格方程初值问题整体解存在性和唯一性。如果"初值较麦克斯韦分布小"这个条件替换成"初值临近麦克斯韦分布"，其它条件不变，试想研究类似初值问题整体解的存在性和唯一性。除去以麦克斯韦分布为标准的初值条件，设想给出其它合理的能量无限的初始假设，进一步研究这类问题整体解的存在性或唯一性。另外,还考虑有外力作用下的相关问题。.在相对论运动论中，这两个方程都是非常重要的。它们在天文学、等离子物理和核物理等邻域中的应用非常广泛, 解决它们的初值问题可为人们数值求解提供可靠的理论依据。

相对论动力学适合于确定高速运动粒子系统的输运系数, 特别是中微子或光子系统. 其中相对论方程非常重要, 在天文学、等离子物理和核物理等领域中的应用非常广泛. 相对论Boltzmann方程作为相对论动力学中最重要的方程之一, 对它的研究已有很久的历史了. 对这个方程的研究大体上可以分为四个方面: 1) 相对论Boltzmann方程的推导；2) 它的相对论动力学极限；3) 它的Chapman-Enskog近似和动力学模型；4) 它的Cauchy问题解的存在性和唯一性. 近来, 第四方面的研究进展最大. 本项目就在此背景下展开相对论Boltzmann方程Cauchy问题适定性的研究. ..主要研究内容是, 厘清经典和相对论Boltzmann方程的各种表示形式、性质及其解的不同形式, 研读该方程解的各种不同的研究方法及其应用. 主要有两个成果. 第一个成果是给出相对论输运方程解的平均正则性. 采用Golse等人的方法, 在某些合理假设条件下给出一类带有相对论Boltzmann方程微分算子的输运方程的解的平均正则性. 这种平均正则性是在分数Sobolev空间中讨论的, 它非常有益于研究相对论 Boltzmann方程Cauchy问题解的存在性. ..第二个成果是证明外力场下的Boltzmann-Enskog方程整体解的稳定性. 考虑只依赖于时间和空间变量的外力场, 在此外力场下的Boltzmann-Enskog方程形式上只保持系统的质量守恒, 而且熵泛函不增. 对于这类方程, 先给它的特征方程组设定一些合理假设, 借助两个新的Lyapunov泛函获得关于它的整体解稳定性的一些结果: 一个泛函描述带有不同速度的粒子之间的相互作用, 另一个检测两个温和解之间的距离. 前一个Lyapunov泛函可导致整体经典解关于时间渐近收敛于碰撞自由运动, 而后一个用来验证有关描述外力场下中等稠密或高密气体的Boltzmann-Enskog方程整体温和解的稳定性.