一类粘弹性流体及其相关模型的若干数学问题研究

In this project, we will focus on the well-posedness issue of a class of viscoelastic fluids and related models. The Oldroyd-B model is a typical type of viscoelastic fluids. Most of the previous studies on the Oldroyd-B model are in the framework of small data. In this project, we will try to give some results with some kinds of large data. Moreover, for the Oldroyd-B model, we will also consider the inviscid case, i.e., the conpling constant equals 1. Besides, when the Weissenberg number tends to infinity, we will investigate the Cauchy problem of the viscoelastic fluids by virtue of the dispersive effect of the wave operator in the low frequency regime. Our research focus on incompressible and compressible fluids.

本项目研究一类粘弹性流体及其相关模型的适定性。Oldroyd-B模型是粘弹性流体的典型代表。 之前对Oldroyd-B模型的研究大多是在小初值整体解的框架下，本项目尝试给出某种大初值的结果。另外，之前的许多研究是针对耦合参数介于0和1之间粘性非退化的情形。在本项目，我们将研究耦合参数为1这种无粘情形。除此之外，当Weissenberg数趋于无穷时，我们还将考察低频时波算子的色散效应对粘弹性流体适定性的影响。我们的研究既涉及不可压缩流体，又涉及可压缩流体。

本项目主要围绕粘弹性流体如典型的Oldroyd-B模型解的适定性和衰减率展开研究。将经典的能量估计和波方程的色散估计相结合，利用方程的内蕴结构，构造了可压缩粘弹性流体容许初始L2临界范数大的解。与可压缩Navier-Stokes方程相比，我们的结果表明粘弹性流体的色散效应更强。将时间全局的Cauchy-Kowaleswski 技术应用到退化抛物系统，验证了三维全空间上不可压缩Oldroyd-B模型的无粘极限问题。 将频率splitting方法与Green函数的点态分析结合，我们给出了Oldroyd型粘弹性流体解的最优衰减率。特别地，我们证明了对称张量比流体速度衰减快。进一步，如果初值突破L1的限制，衰减率可进一步加快。另一方面，可压缩Navier-Stokes方程与粘弹性流体同为双曲抛物系统，我们对其解的大时间行为和稳定性也得到了一些结果。对三维非等熵可压缩Navier-Stokes方程，我们证明只要密度和温度保持一致的（关于时间）正上下界，其光滑解及其各阶导数一定指数衰减到平衡态。这大大改进了之前菲尔兹奖获得者Villani的相关工作。与Villani之前的亚强制方法不同，我们借助Bogovskii算子发现了新的熵不等式。对三维等熵可压缩Navier-Stokes方程，我们引入一些新的“好未知量”， 用Fourier乘子方法证明了Couette流的线性稳定性。在本项目的研究中，我们尝试从发掘新机制，探索新方法两个维度去加深对粘弹性流体和可压缩Navier-Stokes方程等双曲抛物系统的认识。