拟细分基函数的构造及其应用研究

细分算法广泛应用于计算机辅助几何设计与图形学等领域，但其基函数大都不能用数学函数表达而带来许多不便。本项目将构造数学函数，称为拟细分基函数，来逼近或模拟细分算法的基函数，将研究二类拟细分基函数，一类用于计算机辅助几何设计与图形学领域，所构造的基函数将具有较小的局部支撑性、高阶连续性、插值性、归一性、对称性、线性精确性等优良性质，能重建或高精度重建自由曲线和曲面，同时研究用此基函数来重建复杂曲面的一系列算法；构造的另一类基函数将具有正交性、局部支撑性、高阶连续性以及线性精确性等，用于信息与信号处理、函数逼近和小波分析等领域。本项目也探索实轴上某类连续函数用拟细分基函数的逼近展开，类似于Shannon的采样定理。这些研究将给出曲线、曲面造型的新方法，不仅对几何设计有重要应用，也为应用数学、信号处理等提供潜在的新工具。

我们构造了类似于细分基函数性质的函数，称为细分基函数，它们具有下面的优良性质：（1）较小的局部支撑性；（2）高阶连续性；（3）插值性，（4）归一性（partition of unity），（5）对称性等。我们这方面的成果主要分为以下几个部分。一、首次构造了一大类多项式插值基函数。这些基函数按其连续性分为 C1、C2 及以上等类型，并带有形状调节参数，应用这类基函数可以快速重建曲线曲面，且可以通过一个转换矩阵很方便地将所构造的曲线曲面转换成Bézier曲线曲面，这些成果发表在国际首要专业杂志CAGD上；二、改进了我们首次在TOG上提出的拟插值基函数。通过引入一个带参数的微小项（函数），再用积分加以优化，获得超高精度的插值基函数，实例表明效果显著。成果发表在国际首要专业杂志CAD上，另有新的结果被推荐到计算机辅助设计与图形学学报上；三、引入广义点列凸性的概念, 应用点列的内在几何性质，根据点列所连成折线的运动方向在每两点间直接插入Bézier 曲线的控制顶点，获得形状局部可调的保凸参数曲线，且具有算法简单高效等优点。部分成果已经发表在计算机辅助设计与图形学学报上，许多这方面的成果正在完善中。四、在用三角基函数插值方面，我们纠正了以前文献中的几个错误，并取得新的结果，成果有多篇发表在国际重要杂志AMC（中科院TOP，SCI，2区）。五、为了估计基函数插值逼近的误差，我们研究了有理插值算子的Lebesgue常数，并改进国外著名学者的结果，成果发表在著名的国际杂志JCAM（中科院TOP，2区），更重要的结果尚在审理之中。另外，我们在计算机辅助几何设计的导矢界估计等方面取得重要成果，改正了美国学者的一个结果，这个结果曾被德国学者认为是不可改善的，成果发表在国际重要杂志AMC（中科院TOP，2区），在这方面我们还部分解决了国内学者提出的猜想，成果将发表在国际杂志JMS上，在数学基础方面也取得成果，发表在国际杂志JMI。