基于分层矩阵存储的分数阶扩散方程的自适应算法设计和应用

Fractional Differential Equation is a class of equation involving fractional derivatives, which is defined by integral differential operators. Thanks to the wide utilizations in the fields of hydrology, physics, materials science, etc., in recent years the theory, applications and numerical methods for fractional differential equations attracted researchers all over the world. Due to the nonlocality of the fractional operator, the current applications of the finite element method, finite difference method, spectral methods and some other numerical methods for solving fractional differential equations, result in full dense matrices, which brings in huge challenges in computation and memory storage. Therefore, reducing the amount of memory storage in numerical calculation and the computation time, to make the application to time-sensitive or large-scale practical problems possible.This project devotes to solve fractional diffusion equations, using framework of finite element method based on Hierarchical matrix, then established multigrid method on this basis, to construct less memory, less computation algorithms. The current project will use the Taylor expansions of the weak singular kernel, low rank matrix approximation of sub-block matrix, the set of admissible conditions and some other methods to carry out the design of efficient algorithms. At the same time, taking advantage of the adaptive method, to refine the mesh for the singular region of solutions automatically, eventually we obtain the optimal convergence rate overall the calculation region.

分数阶微分方程中所包含的分数阶导数是由积分微分算子定义的非局部算子。 因其在水文学，物理学，材料学等科学领域的广泛应用，近年来关于分数阶微分方程的理论、应用及数值方法的研究备受国内外学者的关注。 受分数阶导数算子非局部性的影响，目前应用有限元方法、有限差分方法、谱方法等数值方法求解分数阶微分方程时，所得离散矩阵都是稠密的，这给计算和存储带来了很大的挑战。 因此，在数值计算时减少存储量和降低计算耗时，才能使数值方法应用于具有时效性或规模较大实际问题成为可能。 本项目通过基于分层矩阵方法的有限元离散方法，对分数阶扩散方程建立多重网格快速计算框架，从而构造存储量少、计算量小的算法。 本项目将采用算子弱奇异核的泰勒展开、矩阵子块的低秩逼近和网格剖分的容许条件设定等方法来开展高效算法的设计。 同时，利用自适应方法，对解的奇异性区域进行网格加密，以获得算法在计算区域上整体最优精度。

分数阶微分方程是数学及其他科学领域的重要组成部分，由于在材料、物理、化学、生物等科学领域的广泛应用，分数阶导数已经被用来精确的描述具有历史依赖性和全局相关性的问题。涉及分数阶微积分模型的高效计算和应用问题已经得到国内外很多的专家学者的广泛关注，在数值计算时减少存储量和降低计算耗时，才能使数值方法应用于具有时效性或规模较大实际问题。.本项目主要研究分数阶导数的高精度逼近分析及快速计算方法，以及自适应算法在神经网络、空气质量指数和交通大数据预测中的应用。通过对插值误差的展式求分数阶导数定位超收敛点的位置，理论上证明了超收敛点为截断误差首项的零点，数值上验证了超收敛点处的收敛阶比全局收敛阶高。接着，将对超收敛点性质的分析运用到基于超收敛点多项式插值逼近的多项分数阶偏微分方程的高阶差分方法的研究，对多项时间分数阶波方程建立时间为二阶精度的差分格式，并证明了方法在最大模下的无条件稳定性和收敛性。此外，还将谱方法用于求解高维空间分数阶非线性薛定谔方程的研究中，用分裂算法将周期边界问题分解成线性和非线性两部分，理论上证明所设计数值格式满足质量守恒，且是无条件稳定和收敛的。.分数阶模型的应用方面，本项目首次研究含两个不同时滞项分数阶神经网络和分数阶四元数时滞神经网络的分岔问题。理论上证明了不同时滞导致的分岔判据，并分别分析了单个时滞对分岔点大小的影响机制。通过数值模拟，验证了本文所得的理论结果的正确性。对于南京市的空气质量指数，本项目创新性的提出了基于时空两个维度协同的预测模型。时间模型基于改进的K近邻算法，对于1个小时的指数预测可以达到92%的准确度。本项目提出了自适应K近邻算法，考虑到波动趋势的相似性，提出了一种新的距离度量方法，并采用智能参数调整方法对边数、最近邻数和预测序列长度等参数进行了调整。结果表明，该方法的预测误差比现有方法降低了23%以上。