Twistor型旋量及其应用

It is well known that the twistor spinor is an important concept in the spin geometry and mathematical physics. It plays important roles in eigenvalue estimates, conformal geometry and mathematical physics. The main task of this project is to study a class of twistor-type spinors. We will do a systematic study into classifing the twistor-type spinor and related properties. In particular,we will study related vanishing theorems of twistor spinors. In addition, we will study the applications of twistor-type spinors in eigenvalue estimates for the Dirac operator, and study the relations between twistor-type spinors and the conformal flat condition.

众所周知，twistor旋量是Spin几何和数学物理中的一重要概念，它在Dirac算子的特征值估计、共形几何以及数学物理里面扮演着重要的角色。本项目的任务是研究一类twistor型旋量。我们将系统研究它的分类及其相关性质。特别地，我们将研究有关twistor旋量的消灭定理。 另外，我们将讨论twistor型旋量在Dirac算子的特征值估计方面的应用以及与共形平坦条件的关系。

众所周知，Spin几何是黎曼几何的一重要研究分支，其主要研究对象为Spin流形和Dirac算子。Spin流形上的Dirac算子 是作用在Spin主丛的配丛---旋量丛上的一阶椭圆微分对称算子。. 紧致Spin流形上Dirac算子的谱蕴含了几何信息和流形的拓扑信息。 在紧致流形上第一个特征值优化下估计是著名的Friedrich不等式. λ^2≥[n/4(n-1)]inf R. .等式成立当且仅当对应的特征旋量为Killing 旋量。很显然，Killing旋量是为twistor旋量的特征旋量。Killing旋量的存在意味着流形必为局部不可约的Einstein 流形。另一方面，Lichnerowicz 和 Hijazi 注意到在存在非平凡的平行形式 的流形上不存在Killing旋量。进一步，若(M,g)具有局部乘积结构，则也不存在Killing旋量。因此在K\"ahler流形上以及局部乘积流形上Friedrich不等式不可能是最优化的下界估计。事实上，Kirchberg, Hijazi, Kramer, 和 Kim在这些情况下给出了相应更好的优化下界估计。. 受Hijazi的结果启发，我们研究了quasi-Killing旋量的性质和应用。其中一个应用是给出了Alexandrov, Grantcharov和 Ivanov估计的一个简单的证明。我们也获得了关于twistor旋量的可积条件和有趣的消灭定理。特别地，我们证明了若局部可分解闭Spin流形的Ricci曲率不恒为零，则twistor旋量空间是平凡的。. 进一步，利用 Bordoni的一般性的谱结果。在存在非平凡的平行一形式的流形上，我们获得了Dirac算子的任意特征值估计。 该估计依赖于 Laplace算子的特征值和数量曲率。该估计可以退化到Alexandrov, Grantcharov和 Ivanov的结果，因此从这个意义下，我们的估计是最优。 通过相同的思路，我们还可以在局部可分解的Riemannian Spin流形上获得类似的结果。