三维流形的Floer同调

本项目致力于研究三维流形的Floer同调群的性质，并寻求它在低维流形的具体问题中的应用。

本项目取得如下成果.. (1)在Heegaard Floer homology理论框架中, 对Kronheimer-Mrowka的一个问题给出新的证明. Kronheimer-Mrowka 构造了balanced sutured 3维流形的monopole Floer homology, 他们在文章中问道: 如果将他们的构造用于Heegaard Floer homology, 得到的不变量是否同构于Juhasz的sutured Floer homology? Yanki Lekili利用quilted Floer homology与Heegaard Floer homology之间的同构(对一些特殊的Spin^C结构) 对此问题给出了肯定的回答. 而我们则在Heegarrd Floer homology的框架内, 利用Juhasz与倪忆的结果, 对此给出直接的证明.. (2) 证明了A-无穷范畴的Hochschild同调同构于它的dg-nerve的free loop space的同调. dg-nerve是Lurie定义的一个函子, 它把dg-范畴(或A-无穷范畴)对应成单纯集. 1980年代, Jones等人证明了拓扑空间的上链复型(作为一个dg代数)的Hochschild同调同构于该拓扑空间的free loop space的同调. 他们的结果启发人们把Hochschild同调与 free loop space的同调等同起来, 但这个看法一直缺少另一个方向的结果:把一般的dg范畴(或A-无穷范畴)的Hochschild同调实现成某个拓扑空间(或单纯集)的free loop space的同调. 我们的结果完全建立了Hochschild同调与free loop space同调的等同.. (3)我们推广了Lurie的dg-nerve函子,定义了相对的dg-nerve函子,为A-无穷代数的模提供了一种几何解释.