拟线性薛定谔方程的可解性研究

Quasilinear Schrodinger equation originates from many models in mathematical physics, and its standing wave solution attracts much attention. In this project, the existence and multiplicity of non-trivial standing wave solutions for the Quasilinear Schrodinger equations are studied by means of critical point theory and analytical techniques.The following contents are included: (1)The existence of ground state solutions for Quasilinear Schrodinger equation with subcritical or critical Berestycki-Lions conditions are studied by means of Pohozaev manifold, centralized compactness principle, truncation technique and Moser iteration. (2)The existence and multiplicity of standing wave solutions for strongly indeterminate Schrodinger equation are studied by means of generalized Nehari manifold and generalized weak surroundings. (3)The existence and multiplicity of standing wave solutions for Quasilinear Schrodinger equation with Hardy term and double critical exponents are studied by using various inequalities, generalized mountain pass lemma and concentration compactness principle. Through the implementation of this project, it not only makes the quasilinear Schrödinger equation more widely used, but also contributes to the development of some branches in mathematical.

拟线性薛定谔方程源于数学物理中的多种模型，其驻波解备受关注。本项目利用临界点理论的相关工具结合分析技巧，研究拟线性薛定谔方程的非平凡的驻波解的存在性和多重性。具体内容包括：(1)利用Pohozaev流形，集中紧性原理以及截断技巧，Moser迭代等分析手段，研究次临界或临界的Berestycki-Lions条件下拟线性薛定谔方程的基态解的存在性。(2)利用广义Nehari流形，广义弱环绕等工具研究强不定情形下拟线性薛定谔方程驻波解的存在性和多重性。(3)利用各种不等式以及广义山路引理，集中紧性原理，研究带Hardy项和双临界指数的拟线性薛定谔方程驻波解的存在性和多重性。通过本项目的实施，不仅可以使得拟线性薛定谔方程具有更广泛的适用性，而且有助于一些数学理论分支的发展。

拟线性薛定谔方程源于数学物理中的多种模型，对其驻波解的研究是目前的热门课题之一，该研究涉及方程、泛函、几何等多个学科。本项目利用临界点理论中的极小极大原理，研究了几类拟线性薛定谔方程的驻波解的存在性和多重性。具体研究结果如下：(1)我们通过次临界指数逼近临界指数的方法，得到了临界的Berestycki-Lions条件下拟线性薛定谔方程的基态解的存在性。(2)我们研究了陡峭位势的情形，通过变量替换，将拟线性问题转化成半线性问题，然后利用山路引理，证明了方程至少存在一个非平凡的基态解。(3)我们研究了渐近周期位势情形，通过Nehari流形的方法，得到了拟线性薛定谔方程基态解的存在性。(4)我们研究了渐近常数位势的情形，利用山路引理和集中紧性原理，得到拟线性薛定谔方程的非平凡解。(5)我们研究了强制位势的情形，借助喷泉定理，得到了该方程的无穷多个高能量解。(6)我们研究了较弱的强制位势下，具有Hardy-Sobolev临界指数和带奇异项的拟线性薛定谔方程基态解的存在性。通过山路定理以及集中紧性原理，得到了方程的一个基态解。本项目的研究既能丰富非线性分析基本理论宝库，又能促进一些数学理论分支和应用分支的发展，具有一定的学术价值和应用前景。