流体力学中若干方程解的存在性研究

本项目主要研究流体力学中若干方程解的存在性问题。当考虑流体的粘性以及热传导效应时，可以用Navier-Stokes方程组来描述其运动。Navier-Stokes方程组的高度非线性给数学工作者提出了许多具有挑战性的数学问题，因此吸引了众多著名数学家的关注并在近年来取得了一系列重要的进展。本项目中我们将首先研究当粘性系数为常数时，3-D定常等熵可压缩Navier-Stokes方程组整体弱解的存在性。然后考虑粘性系数依赖于密度的情形，研究粘性浅水波模型整体弱解的存在性。从方程的形式上看浅水波模型可以看成是粘性系数依赖密度的可压缩Navier-Stokes方程组的一种特殊情况，因此前面对Navier-Stokes方程组的研究工作对浅水波模型的研究有非常重要的指导意义。

本项目计划研究当粘性系数为常数时，3-D定常等熵可压缩Navier-Stokes 方程组整体弱解的存在性，同时把相关结果推广到流体力学的一些其它方程组上，如磁流体力学方程组等。然后考虑粘性系数依赖密度的情形，研究粘性浅水波模型整体弱解的存在性。在本项目中我们证明了当绝热指数1<γ≤1.5时磁流体力学方程组在周期区域内整体弱解的存在性；以及当粘性系数依赖密度时，多层粘性浅水波模型整体弱解的稳定性。在研究粘性浅水波模型整体弱解的存在性过程中我们没有能够构造出合适的逼近解，故没有能够得到整体弱解的存在性。但我们证明了弱解的一致紧性。在研究3-D定常等熵可压缩Navier-Stokes 方程组整体弱解的存在性的过程中，由于我们的文章有一个细节出现了技术错误，随后有其他研究者发表了相关的文章，故该研究没有达到预期目标。但随后我们做了调整，研究了定常等熵Navier-Stokes 方程组inflow boundary 问题强解的存在性，相关结果已经投稿。