空间非均匀性与交错扩散对正稳态解的影响

The ecological population model is one of the important tools for us to understand and investigate the nature, the property of its positive stationary solutions is one of the important topics of the applied mathematicians all the time. Due to the existence and important effects of cross-diffusion and spatial heterogeneity, more and more researchers have begun to study the effects of the two factors on the positive stationary solutions of the predatory、cooperative and competitive models. In this project, we are mainly concerned with the effects of spatial heterogeneity and cross-diffusion on the positive stationary solutions, and will try our best to give the detailed structure of the positive stationary solutions, including the existence、uniqueness、stability and asymptotical behavior and so on. Whereas, the nonlinearity of cross-diffusion and the appearance of nonconstant coefficients make the investigation very difficult. Only one traditional theoritical tool, such as bifurcation theory、fixed index theory and so on, cannot give detailed results generally. Based on the above fact, the project has very important theoritical significance and application value, and may contribute to the theoritical result of the ecological population model.

生物种群模型是我们理解研究自然的重要工具之一，它的正稳态解性质一直是应用数学家研究的重要课题之一。由于交错扩散和空间非均匀性的存在和重要作用，越来越多的学者开始研究两者对捕食、合作及竞争模型的正稳态解的影响。为此，本项目主要研究空间非均匀性和交错扩散对正稳态解的影响，并致力于给出正稳态解较为细致的结构，包括存在性、唯一性、稳定性与渐近行为等。但是交错扩散的非线性和非常系数的出现使得研究工作十分困难，传统上的单一理论工具，如分歧理论、不动点指标理论等，往往得不到细致的结果。因此，对本项目的研究具有重要的理论意义和应用价值，项目的完成可以丰富生物种群模型的理论结果。

生物种群模型的正稳态解一直是数学家的重要研究课题之一，本项目主要致力于空间非均匀性与交错扩散对正稳态解的影响。为此，主要考虑了不同非均匀空间中的随机扩散捕食模型与均匀空间中的交错扩散捕食或食物链模型的正稳态解的性质。通过理论分析，给出了从半平凡稳态解分歧出来的正稳态解的全局分歧、渐近行为、唯一性与局部渐近稳定性。最重要的是，给出了非常系数情形正稳态解的全局渐近稳定性。. 关于空间非均匀性对正稳态解的影响，结果表明不同的空间非均匀性与Beddington-DeAngelis功能反应函数都会产生新的稳态结构。保护区域的建立更有利于两种群的共存。关于交错扩散对正稳态解的影响，结果表明不同的交错扩散对所研究的捕食模型具有不同的影响，不同交错扩散系数很大时正稳态解的类型不同。而且，交错扩散对模式生成具有重要影响，不仅可以产生非常数正稳态解，而且可以产生空间非齐次Hopf分歧。通过本项目的研究，丰富了生物种群模型的理论结果。