场论中偏微分方程的涡旋解

It is well known that vortices have broad applications and are of theoretical importance in field theory. In this project, we will study the problems of two classes of vortices arising from field theory in physics. One of them is a class of optical vortices governed by the continuous or discrete nonlinear Schrodinger equations. The other is a class of systems of non-self-dual Chern-Simons vortex equations in gauge field physics, whose mathematical formulation is made in terms of second-order elliptic equations. For the first class of problems, we will establish the existence of optical vortices in bounded disk-like domains and ring-like domains by combining variational methods, fix-point methods, weighted Sobolev spaces and other techniques. For the second class of problems, we will establish the existence of non-self-dual Chern-Simons charged vortices by constrained variational methods applied on indefinite action functionals, and discuss the existence of topological solutions and non-topological solutions and their decay rates at infinity. The new ideas and methods developed in this work will be valuable to other areas of studies concerning vortex equations, enhance the interaction of mathematics and mathematical physics, and enrich the existing theory and methods of partial differential equations.

偏微分方程的涡旋解在物理场论中有着广泛的应用和重要的理论意义。 本项目将研究两类来源于物理场论中的涡旋解问题，第一类来源于非线性光学，是由一类连续或离散的非线性Schrodinger型方程（组）控制的光学涡旋；第二类是来源于规范场的非自对偶Chern-Simons涡旋，其数学表现形式为二阶非线性椭圆型方程（组）。 对于第一类问题，我们将综合运用变分方法、不动点方法和加权Sobolev空间等理论，在有界区域或环形区域上研究光学涡旋的存在性；对于第二类问题，我们将应用不定变分方法研究非自对偶Chern-Simons带电涡旋问题，并且通过建立拓扑解、非拓扑解的存在性，分析Chern- - Simons涡旋在无穷远处的衰减速率。 项目的研究将加强数学与数学物理不同分支学科之间的相互交叉和渗透，项目进行中探索的新思想、新方法将促进其它领域出现的涡旋方程（组）的研究，丰富和发展现有的偏微分方程理论。

本项目研究了与场论相关的几类非线性偏微分方程。项目组利用变分方法、加权Sobolev空间理论及相关技巧，讨论了非线性光学的光学涡旋解，数学上这是一类非线性Schrodinger方程组的涡旋解；项目组研究了一类非线性椭圆方程组，这联系着来源于规范场的Chern-Simons 涡旋。作为拓展研究，项目组也讨论了广义相对论中的弗里德曼方程、耦合的 Einstein-Maxwell 方程；超导理论的Ginzburg–Landau 方程；讨论了非线性偏微分方程解的存在性、正则性、渐近性或解的长时间性态等。.这些问题与经典力学量子场理论非线性光学有密切的联系，也涉及到偏微分方程、数学物理等多个学科。对于数学科学发展新方法，揭示新规律有重大价值。项目研究内容的特点是强非线性、相应的泛函具有约束等，所研究课题处于国内外偏微分方程研究领域的前沿。项目研究成果进一步加强了数学与数学物理不同分支学科之间的相互交叉和渗透，项目成果展现的新思想、新方法可以有助于其它领域出现的涡旋方程的研究，丰富和发展现有的偏微分方程理论。.在项目研究实施期间，项目组相继培养了硕士研究生37名，博士研究生4名；相继取得了重要研究成果28篇，其中SCI论文25篇，超额完成了项目组预期研究目标。