球对称的Finsler度量

In this project, we mainly consider the square metrics and spherically symmetric metrics among the Finsler metrics. More precisely, we will study the square metrics of sectional curvature and R-quadratic square metrics. We hope to classify them. For spherically symmetric metrics, we focus on Berwald metrics and Landsberg metrics and want to find those metrics which is Landsbergian but non-Berwaldian. Furthermore, how to classify spherically symmetric metrics with constant flag curvature is our core question. By analyzing the constant flag curvature equation, it is possible to search non-Randers, non projective-flat metrics of constant flag curvature. We also study Einstein spherically symmetric Finsler metrics by Bianchi identity and Einstein equation to confirm whether Schur lemma does hold for these kind of metrics.

在本项目中，我们主要考虑Finsler度量中的平方度量和球对称度量。具体地，我们将研究具有截曲率和R-quadratic的平方度量，希望将它们能够分类。对于球对称度量，主要考虑其中的Berwald度量和Landsberg度量。看其中是否有几乎正则的非Berwald的Landsberg度量出现。而分类常旗曲率的球对称度量则是我们重点关心的问题，通过分析常旗曲率方程，希望能够找非Randers非射影平坦的具有常旗曲率的Finsler度量。对于Einstein的球对称度量，我们将通过Einstein方程以及Bianchi恒等式研究Schur引理是否成立。

Finsler几何是Riemann几何的推广，在物理、信息科学和其它数学分支中都有重要应用。.本项目对于其中一类简单而重要的Finsler度量：球对称度量以及其曲率性质展开了细致而深入的研究。通过计算球对称Finsler度量的Riemann曲率、Ricci曲率、Berwald曲率、Landsberg曲率以及S曲率，得到了一系列的分类结果。具体为：证明了正则的球对称Finsler度量如果是Landsberg的，一定是Berwald的；分类了Berwald的球对称的Finsler度量；分类了Douglas的具有迷向S曲率的球对称Finsler度量；给出了一种构造常旗曲率的球对称Finsler度量的方法；还给出了一个具有0旗曲率的奇异Landsberg曲面，但不是Berwald的。.这些结果最后整理为三篇文章，并都发表在国外的SCI期刊上，其中部分结果还同行所引用。