带有两个分段常变量的时滞微分方程的全局稳定性

For a delay differential equation with two piecewise constant arguments, under the condition that it has a unique positive equilibrium, give thesufficient and necessary condition to ensure its global asymptotic stability is a complicated problem. In J. Math. Anal. Appl. [18] and Nonlinear Analysis (RWA)[19], the same authors study two delay differntial equations with two piecewise constant arguments and give the sufficient and necessary condition to ensure the positive equilibrium is global asymptotic stability, but their proof made a obvious mistake:.to construct a Lyapunov funcitonal, they limited the value above the equilibrium, and show that under this condiiton, the derivative of the Lyapunov funcitonal along the solution of the delay differential equation is negative except for the equilibrium point. Base on the above fact, how to find a new way to prove to those delay differntial equaitons with two piecewise constant arguments under the condition they have only one posiitve equilibrium, its local asymptotic stability implies its global asymptotic stability will be our objective.

对于含有两个分段常变量的时滞微分方程，在其有唯一正平衡点的条件下，如何判别该正平衡点全局渐近稳定，是一个比较复杂的问题。在J. Math. Aanl.Appl.[18] 和 Nonlinear Analysis(RWA)[19]两篇文章中，作者研究了上述方程唯一平衡点局部渐近稳定性的局部稳定性，并在局部渐近稳定的前提下，给出如下结论：平衡点的局部渐近稳定性意味着其全局渐近稳定性。上述结论尚待商榷，因为作者在这两篇论文中犯了一个明显的错误：作者通过构造 Liapunov函数来证明正解的全局渐近稳定性，却限定解在大约某一正数(该正数大于方程唯一的正平衡点的数值)的前提下，得到Liapunov 函数关于方程解的导数为负，从而得到该正平衡点全局渐近稳定。显然上述证明有误，所以如何寻找新的途径来证明上述结论，得到正平衡点的局部渐近稳定性意味着其全局渐近稳定性，仍然是一件非常有意义的工作。

在动力学中，一个很重要的问题就是解的渐近性性质，即当时间趋向于无穷时解所具有的一些性质，其中一个就是其稳定性问题。如果其中一个稳定态势稳定的，那么无论我们是理论上还是数值模拟上，都可知该稳定态附近的解都应该在其附近。尤其对于数值模拟，可以给予理论上的支持。另外，如果平衡态全局渐近稳定，那么该系统就具有简单的动力学行为，即所有解最终都趋向于该稳定态，因此研究全局渐近稳定性问题也是一个非常重要的。其中，局部稳定性的研究相对于全局渐近稳定性比较简单，只需要考虑系统在平衡点附近的线性化系统的特征值问题，所以其中一个比较有趣的问题就是在平衡点局部渐近稳定的的条件下，是否其全局渐近稳定(一般局限于方程的实际意义下的全局渐近稳定)。. 在[J. Math. Anal. Appl. (2009)360, 334-342] 和 [Nonlinear Analysis (RWA), （2011）12，1532-1545]两篇文章中，作者研究了上述方程唯一平衡点局部渐近稳定性的局部稳定性，并在局部渐近稳定的前提下，给出如下结论：平衡点的局部渐近稳定性意味着其全局渐近稳定性。证明中，他们限定解在大于某一正数(该正数大于方程的平衡点)的前提下，得到Lyapunov 函数关于方程解的导数为负，从而得到该正平衡点全局渐近稳定。显然上述证明有误，给出一些其全局渐近稳定的充分性条件，但是要纠正该错误还是比较困难的。另外一个研究的方面是对于带有时滞的传染病模型，其中一个非常重要的参数基本再生数。当基本再生数大于一时方程组存在一地方病平衡点，是否基本再生数大于一时可以确保该正平衡点全局渐近稳定？我们对不同形式的SEIR或 SIR进行研究，并且得到相应的结论。