基于重构型误差估计的自适应虚单元法及其在界面问题中的应用

Virtual element method is a new numerical discrete method for solving partial differential equations which is suitable for the more general polygon and polyhedron meshes. And Virtual element method has better mesh adaptability and numerical stability than the traditional finite element method. However, as a new method, the theory, algorithm and application of virtual element method still need to be further developed and improved. The project will first study the relationship between mesh quality and the numerical error of virtual element method and develop the theory and algorithm of superconvergence and recovery type a posterior error estimation for virtual element method. Then we study the adaptive virtual element method based on recovery type a posterior error estimation. For the complex interface appeared in the three-dimensional interface problem, we will develop efficient interface-fitted mesh generation algorithm to solve the typical interface problems with the adaptive virtual element method. Finally, based on the above research results, and using the array-oriented and object-oriented language features of Python, we will develop a simple, easy-to-use and efficient open-source numerical simulation software for adaptive virtual element method.

虚单元法是一种求解偏微分方程的新型数值离散方法，适用于更一般的多边形和多面体网格，相比于传统有限元，具有更好的网格适应性和数值稳定性。但作为一种新型方法，虚单元法的相关理论、算法和应用还需要进一步发展与完善。本项目将首先研究网格质量与虚单元误差之间的关系，发展虚单元的超收敛和重构型后验误差估计理论与算法，进而研究基于重构型后验误差估计的自适应虚单元法。针对三维界面问题中出现的复杂界面，设计高效的三维界面拟合网格生成算法，并结合自适应虚单元法来求解典型界面问题。最后，基于上述研究成果，利用 Python 面向数组和面向对象的语言特性，开发简单、易用且高效的自适应虚单元数值模拟开源软件。

虚单元方法是经典有限元方法在多边形和多面体网格上的推广，它不提供基函数的显式表达式，但可以基于自由度进行相关计算。虚单元方法的最大优势在于对网格质量的要求相对较低，有望大幅降低复杂几何区域上的网格生成难度 。本项目围绕虚单元方法展开了一系列的理论、算法及应用研究工作。我们首先针对虚单元方法设计了一种重构型的后验误差估计子，不但给出了可靠性和有效性的严格理论证明，而且成功应用于自适应求解任意复杂区域上的自洽场模型。其次，我们针对任意维的 Stokes 问题，设计了一种分片无散的非协调虚单元方法，并给出严格误差分析。另外，我们把虚单元方法应用于非线性 PNP 方程系统的求解，并给出了 $$H^1$$ 范数的误差分析。我们还设计了一种高阶光滑的 $$H^m$$ 协调虚单元方法，并给出了最优误差估计分析。最后，我们还开发一个具有自主知识产权的偏微分方程数值解软件包 FEALPy，该软件包完全基于 Python 实现，简单、易用且天然跨平台，不但集成了大量经典的算法，而且还集成包括上述算法研究成果在内的大量前沿成果，很好支撑了项目算法研究的验证工作。