非双曲系统中SRB测度的存在性问题

SRB measure can not only describe the relationship between entropy and Lyapunov exponents, also exhibits good statistical properties, it is an important topic in the study of dynamical systems. In this project, we study the existence of SRB measures for non-hyperbolic systems，mainly explore following problems: Firstly, we investigate the existence of SRB measures for partially hyperbolic systems whose center sub-bundle can split into dominated one-dimensional sub-bundls; Secondly, we study the existence of SRB measures for generic diffeomorphisms away from homoclinic tangency . This will be helpful for studying the famous Palis conjecture (about SRB measure). Finally, for partially hyperbolic systems with splitting TM= E^u⊕E^{cu}⊕ E^{cs}, if all the Lyapunov exponents along E^{cu} are positive and along E^{cs} are negative for every Gibbs u-measure, we explore the problem about stable ergodicity w.r.t. SRB measures under some conditions.

SRB测度不仅能够刻画熵和Lyapunov指数之间的关系，而且具有非常好的统计性质，是动力系统的重要研究课题。在本项目中，我们研究非双曲系统中SRB测度存在性问题，主要探究以下问题：首先，在中心高维的部分双曲系统中，假设中心子丛可以控制分解为多个一维子丛直和，我们研究SRB测度的存在性问题；其次，我们研究远离同宿切的通有系统的SRB测度的存在性问题，它的解决将有助于研究著名的Palis猜想（关于SRB测度）；最后，考虑部分双曲系统TM=E^u⊕E^{cu}⊕E^{cs}, 若对任意Gibbs u-测度在E^{cu}方向的Lyapunov指数都为正，在E^{cs}方向的Lyapunov指数都为负，探究一定条件下系统关于SRB测度的稳定遍历性。

SRB测度的研究肇始于Sinai-Ruelle-Bowen 上世纪70年代的工作，由于SRB测度可以从不同的角度反映动力系统的复杂性，SRB 测度的研究是光滑动力系统中的重要课题。在这个项目中，我们主要研究了一些非双曲系统的SRB测度的存在性。.1.对于具有多个中心一维的部分双曲系统，我们研究了SRB测度的存在性。通过C^1通有的讨论，我们研究了远离同宿切系统SRB测度的丰富性。.2.我们研究了具有两个中心的部分双曲系统，其中一个中心方向是最扩的，另一中心方向是最压的。通过建立一种拓扑结构-skeleton, 我们得到了SRB测度在C^1 拓扑下关于系统的连续性。.3.与该项目紧密相关，我们研究了具有最扩中心和最压中心的部分双曲流的SRB测度的存在性和有限性。.4.我们也在具有控制分解的微分同胚中建立了Gibbs cu-测度存在性的技术手段，通过这种技术，我们在一些非双曲系统中实现了SRB测度的存在性。.