人工边界条件快速算法的理论及其应用

Artificial boundary method is a numerical method for the mathematical physics equations which are defined on unbounded domains. Fast evaluation of artificial boundary conditions is an utmost important issue for three-dimensional problems and time domain problems. This project is concerned with the theory and applications of fast algorithm of artificial boundary conditions (ABCs). Mathematically, the fast evaluation of ABCs can be transformed into the rational approximation of the corresponding analytic DtN mappings. Based on the Pade approximation or the contour integral technique, we deduce stable and highly accurate rational approximations to the exact ABCs for some model problems, design efficient numerical schemes for the problems on the truncated finite domains, and perform suitable error analysis. The problems to be considered include not only the traditional mathematical physics equations such as the Poisson equation, the Schrodinger equation and the Maxwell equations, but also some modern equations such as the discrete Schrodinger system and the nonlocal models which have promising applications in the material science. The successful implementation of this project will improve the theory of numerical partial differential equations and strengthen the applications of computational mathematics in the science and engineering.

人工边界方法是无界域上数学物理方程的一个重要的数值求解方法。人工边界条件的快速计算在三维问题和时域问题的处理中至为关键。本项目旨在系统地发展人工边界条件快速算法的理论，广泛地研究其在各种数学物理模型中的应用。数学上来讲，人工边界条件的快速计算问题可以转化为DtN解析算子或算子族的有理逼近问题。针对典型方程，我们将推导准确的人工边界条件，采用帕德逼近或围道积分技巧来设计准确人工边界条件的高精度并保结构稳定性的有理逼近，发展高效的求解有界截断区域问题的数值离散方法，并做出相应的误差分析。我们考虑的问题既包括Poisson方程，薛定谔方程和Maxwell方程这样的传统数学物理方程，也包括离散薛定谔系统和非局域方程这些在材料科学中具有重大应用前景的新的数学物理模型。项目的成功实施对完善偏微分方程数值解的理论，提高计算数学在科学与工程技术领域中的影响力具有重要的意义。

定义在无界性区域上的PDE数值求解具有本质性的困难，这是因为采用传统的基于格点技术的数值离散方法如有限元和有限差分，必然会导致一个具有无限自由度的代数系统的求解问题。因此，对无界区域上的PDE，我们需要引入额外的数学工具，发展新的数值求解方法。人工边界方法是其中一种重要的方法。人工边界方法的基本思想是引入适当的人工边界，将无界区域上的PDE计算问题转化为一个有界区域上的PDE计算问题。在本项目的研究中，我们基于问题特有的结构性质采用了不同的变换技巧，在恰当引入的人工边界上得到准确的人工边界条件，并进一步利用复变函数的理论和工具发展了具有任意可调精度的保结构有理逼近方法来快速处理人工边界条件。同时我们针对典型方程如三维无界域泊松方程、局部和非局部扩散方程、对流扩散方程给出了具体的人工边界条件快速算法和误差估计。项目的顺利完成，对完善偏微分方程数值解的理论，提高计算数学在科学与工程技术领域中的影响力具有重要的意义。