加权射影线的稳定条件空间和相应的量子 loop 代数

The main research object of this project will be the derived categories of coherent sheaves on weighted projective lines. On the one hand, we plan to investigate the manifold structures of the stability condition spaces for these derived categories, including the topological properties such as connectedness and contractibility. Conversely, we hope to use the tool of stability condition to find further structures of the derived category. For example, we plan to classify all the t-structures on the derived category and investigate their corresponding hearts by using certain stabilty conditions. .. On the other hand, we know that the Ringel-Hall algebra of the category of coherent sheaves on a weighted projective line provides a realization of quantum loop algebra of the associated Kac-Moody algebra. In this project, we also plan to study the Ringel-Hall algbera structure via the approach of stabilty conditions. Our aim is to construct certain orthogonal bases and automorphsims for quantum loop algebras. This will provide new methods and viewpoints to the study of Lie theory.

本项目的主要研究的几何对象是加权射影线的凝聚层范畴的导出范畴，拟通过代数方法研究导出范畴的稳定条件空间的流形结构，包括连通性、可缩性等拓扑性质，并通过稳定条件反过来刻画导出范畴的结构，给出t-结构的分类并探讨t-结构的心（heart）的结构和性质。.. 另一方面，通过Hall代数的途径，凝聚层范畴提供了Kac--Moody代数的loop代数及其量子包络代数的实现，本项目拟通过凝聚层范畴的导出范畴的稳定条件研究相应的Hall代数的结构，进而构造（量子）loop代数中的正交基以及自同构，为李理论的研究提供新的方法和视角。

本项目的主要研究对象是加权射影直线，一方面，通过代数方法研究它的凝聚层导出范畴稳定条件空间的流形结构，我们通过群作用的观点研究了凝聚层导出范畴的结构，利用粘合构造建立不同权型的凝聚层范畴之间的关系，通过群作用与丛倾斜理论的观点研究导出范畴中的倾斜理论，通过对例外序列进行分析，从代数角度证明稳定条件空间的拓扑结构，得到稳定空间的连通性。..另一方面，通过稳定条件研究李理论中的量子loop代数的结构，我们给出量子loop代数的Hall代数实现，建立凝聚层范畴的Hall代数、1周期复形范畴的半导出Hall代数，以及导出范畴的导出Hall代数三者之间的联系，给出格林公式的简单证明，构造（量子）loop代数中的正交基以及自同构，为李理论的研究提供新的方法和视角。