离散线性哈密顿系统亏指数的研究

This project is concerned with the positive and negative defect indices of discrete linear Hamiltonian systems, which contains mainly criteria of the limit cases( including limit point case, limit circle case and limit middle case) for formally self-adjoint difference equations with real coefficients; criteria of equality of the positive and negative defect indices, the value range of the positive and negative defect indices for formally self-adjoint difference equations with complex coefficients and discrete linear Hamiltonian systems. Since the minimal operator generated by discrete linear Hamiltonian systems may be non-densely defined and multi-valued,even if the corresponding definiteness condition is satisfied, we will define and study the positive and negative defect indices using subspace theory. The solution of these problems is the premise and foundation of the study on self-adjoint extensions and distribution of spectrum of discrete linear Hamiltonian system as well as dynamic systems on time scales.

本项目研究离散线性哈密顿系统的正负亏指数，主要包括实系数形式自伴差分方程极限型（包括极限点型、极限圆型和中间型）的判定、复系数形式自伴差分方程正负亏指数相等的判定、正负亏指数的取值范围，还有离散线性哈密顿系统正负亏指数相等的判定、取值范围等。由于即使确定性条件成立，由离散线性哈密顿系统生成的最小算子可以是不稠定的和多值的，所以本项目将利用子空间的理论定义离散线性哈密顿系统的亏指数并研究其取值范围。这些问题的解决是研究离散线性哈密顿系统以及时间尺度上的动力系统自伴扩张和谱分布的理论前提和基础。

本项目计划研究离散线性哈密顿系统的亏指数，主要包括离散哈密顿系统（包括实系数和复系数形式自伴差分方程）亏指数的取值情况，极限点型、极限圆型和中间型的判定，以及和亏指数相关的问题的研究。本项目通过一年的研究，已完成计划内容。主要研究成果如下：（一）首先研究了二阶实系数形式自伴差分算式的亏指数与其平方对应的四阶差分算式的亏指数之间的关系。证明了二阶实系数形式自伴差分算式的平方是极限圆型当且仅当该二阶差分算式是极限圆型。 这说明当二阶差分算式是极限点型时，其平方只可能是极限点型和中间型。当该二阶差分算式是极限点型时，给出了其平方是极限点型和中间型的充分必要条件。（二）将上述结果推广，讨论任意形式自伴差分算式（实系数或复系数）的亏指数与其复系数多项式对应的差分算式的亏指数之间的关系。（三）研究了一类J自伴离散哈密顿系统（包括二阶J自伴差分方程）对应的最小子空间的自伴扩张问题。利用线性无关平方可和解给出了其J自伴扩张的全部刻画。（四）研究离散哈密顿系统生成的最小子空间的定义域的稠性质。证明了由离散线性哈密顿系统生成的最小子空间是稠定的充分必要条件是最大子空间是单值的，并且证明当至少有一个区间端点是有限时，最小子空间的定义域一定是不稠的，并且最大子空间一定是多值的。