若干奇性问题的两类高效谱方法研究

Due to solutions to many problems of interest exhibit singular behaviors, such as those caused by domain corners or points where boundary condition changes type or singular operator. For these problems, usual spectral methods based on orthogonal polynomials/functions does not yield high-efficiency. In this project, we shall propose two efficient spectral methods: (1)Enriched spectral method and (2)Log spectral method to recover the high-efficiency of the spectral method for singular Poisson equation、Caffarelli-Silvestre extension and some one-point singular problems. We shall provide the numerical approximation theory for the Enriched spectral method and Log spectral method by using some new analysis tools. The high-efficiency of those methods will be verified by plenties of numerical examples. We expect that the results established in this project will provide a reference for efficiently solving some related singular problems.

由于区域的角点、边界条件的不匹配、奇性算子等诸多因素的影响，许多问题的解往往具有一定的奇性。这导致基于正交多项式/函数建立的谱方法不再具有高效性。我们提出两类高效的谱方法：(1)Enriched谱方法；(2)Log谱方法，并将其应用到求解奇性Poisson方程、Caffarelli-Silvestre延拓问题与一些单点奇性问题。利用一些新的分析工具，我们给出Enriched谱方法与Log谱方法的数值逼近理论。大量的数值实验将验证两类方法的高效性。我们预期本项目的研究结果对高效数值求解相关奇性问题具有一定的参考作用。

因绝大部分微分方程无法求得解析解，故相应的数值求解成了最为有效与实用的方法。数值方法研究方向非常重要的关注点是数值解收敛的速率，即数值方法的收敛性。通常情况下，因数值方法的收敛速率取决于解函数的正则度，故对解函数光滑的情形，数值解对所求问题的解具有非常快速的逼近。但是对于解函数具有奇性的情况，传统数值方法的收敛性将十分有限，往往需要花费高昂的代价求解问题。针对若干重要的奇性问题，本项目提出了两类特殊的数值方法，构建了两类数值算法的理论基础，给出了完整的误差分析，并将其成功应用于求解几类前沿的奇性微分方程。本项目的研究内容为求解奇性微分方程领域提供了两类高效的数值方法，解决了若干困难的奇性问题，拓宽了数值方法对奇性问题的应用。