求解双曲型守恒律方程的熵相容格式研究

数值模拟方法的研究对计算流体力学有十分重要的意义，其中非线性双曲型守恒律方程由于其应用广泛和求解困难，一直以来受到广泛关注。以往的数值方法往往忽略了物理系统的一个重要因素：热力学第二定律，即熵稳定条件，导致一些非物理现象的产生。本项目从物理概念出发，研究满足熵稳定条件的一类多维高精度高分辨率的熵相容格式，应用于各种典型的物理模型和数值实验，以期获得符合物理特性的数值求解方法。

在计算流体力学中，由于Euler方程组是典型的双曲守恒律方程组受到广泛重视。但Euler方程组没有考虑问题的粘性效应，故其解通常含有激波、接触间断以及稀疏波等非线性现象，其求解十分困难。通常的求解双曲守恒律方程组的数值求解方法往往忽略问题的物理特性，即热力学第二定律。为了抑制数值振荡，通常采用增加数值粘性的办法。究竟增加多大的数值粘性才能使数值解既符合物理特性又足够精确这一重要问题一直没有得到很好的解决。.本项目的主要研究内容，就是想从问题的物理特性出发，研究解决双曲守恒率方程数值方法的数值粘性与熵稳定之间的关系，构造出既符合物理特性又能产生高精度高分辨率解的数值方法，我们称该类方法为熵相容方法。.通过本项目的研究，我们取得了如下成果：.（1）对Tadmor等人的熵稳定格式有了新的认识。Tadmor等人提出的熵稳定格式由于定义的熵是纯数学的，因此他的熵稳定格式不一定得到稳定的数值解，且粘性系数的大小选取也只是定性的。只有熵相容格式（一类更精细的熵稳定格式）才能完全消除数值振荡，得到较为精确的数值解。.（2）研究了构造熵相容格式的基本思路、基本技术，得到了较好的结果。.（3）进一步研究了如何提高熵相容格式的精度和分辨率的问题，提出了结合WENO方法和自适应通量限制器的方法，取得了明显的效果。.（4）把高精度高分辨率熵相容格式应用到Euler方程组、浅水波方程组、交通流等问题的求解，取得了很好的结果。