Littlewood-Paley算子加权范数不等式的若干问题研究

Weighted norm inequalities of operators are always one of core content in harmonic analysis, the study of these inequalities not only promote the development of theory of function spaces and operators, but also play a significant role in understanding partial differential equations and complex variable functions. And Littlewood-Paley operators have very important applications in studying multiplier theorems, developing Littlewood-Paley theory and resolving the Kato conjecture. The program will prove the boundedness of multi-parameter Littlewood-Paley operators on weighted Hardy spaces with Muckenhoupt one weights; applying random dyadic grids, martingale difference decomposition and Sawyer type testing conditions to study the two weight T1 theorems of multi-parameter Littlewood-Paley operators; by random dyadic grids, martingale difference decomposition, functional energy and Sawyer type testing conditions associated with para-accretive functions to verify the two weight Tb theorems and the two weight local Tb theorems of one-parameter Littlewood-Paley operators and multi-parameter Littlewood-Paley operators.

算子的加权范数不等式一直是调和分析研究的核心内容之一，对它的研究不仅促进了函数空间和算子理论的发展，而且在探索偏微分方程和复变函数论中发挥了非常重要的作用。而Littlewood-Paley算子在研究乘子定理，发展Littlewood-Paley理论，解决Kato猜想中有着至关重要的应用。本项目拟通过加权Littlewood-Paley理论和加权原子分解理论，证明多参数Littlewood-Paley算子在加权Hardy空间的有界性，其中权函数为Muckenhoupt单权；利用随机二进网格、鞅差分解和Sawyer型测试条件，研究多参数Littlewood-Paley算子的双权T1定理；通过随机二进网格、鞅差分解、泛函能量、与仿增长函数相关的Sawyer型测试条件，探索单参数Littlewood-Paley算子、多参数Littlewood-Paley算子的双权Tb定理和双权局部Tb定理。

Littlewood-Paley理论是调和分析研究的重点内容之一，在偏微分方程领域起着重要的作用。在项目支持下，我们重点研究了双参数Littlewood-Paley函数在Hardy空间上的有界性和齐型空间上Calderon-Zygmund奇异积分的算子代数，获得了一些重要的研究成果。主要结果如下：(一)利用向量值理论，乘积Hardy空间的原子分解理论和Journe覆盖引理证明了双参数Littlewood-Paley函数从Hardy空间Hp到Lebesgue空间Lp的有界性，其中双参数Littlewood-Paley函数包括双参数Littlewood-Paley平方函数和双参数Littlewood-Paley g_lambda*函数,指标p小于1；（二）利用Littlewood-Paley理论中的连续型Calderon再生公式和几乎正交估计，证明了齐型空间上单参数和双参数Calderon-Zygmugd奇异积分的算子代数。与Meyer和Coifman的正交小波基，Han, Lee和Lin的离散型Littlewood-Paley理论相比，我们的方法更加直接和简单。