新的广义Jacobi谱和有理谱方法研究

Spectral methods possess high-order accuracy, and they have been widely applied to numerical simulations of various problems arising in science and engineering. However, the classical Jacobi spectral method and Jacobi rational spectral method are usually restricted by the parameter conditions in the practical applications, which greatly limit their application range. In addition, the difference method be used in the evolution equation to approximate the time term in spectral method usually, which affect the global accuracy of the numerical solution. In this proposal, we investigate several difficult problems, such as the new generalized Jacobi spectral method, the new generalized Jacobi rational spectral method, and the space-time high accuracy spectral collocation method for evolution equation. Solving these problems will further give full play to the advantages of spectral method, overcome the restrictions on the choice of parameters of Jacobi spectral method and Jacobi rational spectral method, and improve the accuracy of time term in the evolution equation at the same time.Thus, they will expand the basic theories of spectral method and the range of application, provide some new high accuracy algorithm for some problems in science and engineering.

谱方法具有高精度，已广泛应用于科学和工程中有关问题的数值模拟。但在实际应用中经典的Jacobi谱方法和Jacobi有理谱方法通常会受到参数条件的制约，从而极大地限制了它们的应用范围；此外，谱方法在处理发展型偏微分方程时，时间方向上通常采用有限差分方法离散，从而影响了数值解的整体精度。为此，本项目主要研究新的广义Jacobi谱方法和广义Jacobi有理谱方法，以及发展型偏微分方程的时间-空间双高精度的谱配置方法。这些问题的解决将进一步发挥谱方法的优点，克服Jacobi谱方法和Jacobi有理谱方法对参数选择的限制，同时提高发展型偏微分方程时间项的逼近精度，从而在一定程度上拓展谱方法的理论基础及其应用范围，为有关科学和工程问题提供新的高精度算法。

谱方法具有高精度，已广泛应用于科学和工程中有关问题的数值模拟。但在实际应用中经典的Jacobi谱方法和Jacobi有理谱方法通常会受到参数条件的制约，从而极大地限制了它们的应用范围；此外，谱方法在处理发展型偏微分方程时，时间方向上通常采用有限差分方法离散，从而影响了数值解的整体精度。为此，本项目主要研究新的广义Jacobi谱方法和广义Jacobi有理谱方法，以及发展型偏微分方程的时间-空间双高精度的谱配置方法。所取得的部分重要结果包括将经典的Jacobi多项式（参数大于-1）推广到任意实参数情形，并研究了其相关性质；引入了多种新的正交或双正交的基函数，包括Sobolev正交或双正交的Legendre，Chebyshev，Gegenbauer，Jacobi和Jacobi有理基函数，并研究了其相关性质。上述工作丰富了谱方法的基本理论，克服了Jacobi谱方法和Jacobi有理谱方法对参数选择的限制，从而在一定程度上拓展谱方法的理论基础及其应用范围.