Banach空间上的退化微分方程及相关问题的研究

Operator-valued Fourier multiplier theorem is one of the most important tools in studying differential equations in Banach spaces. It can be not only used to characterize the well-posedness of abstract differential equations, but also has close relation to harmonic analysis，PDE and so on. In this project, we will focus on studying the following three parts: the first one is the well-posedness of two classes of degenerate equations in different function spaces and the main tools are generalized operator-valued Fourier multipliers; the second one is the admissibility theory of function spaces with respect to one order degenerate differential equations; the third one is the symplectic nonsqueezing theorem in Hilbert spaces with applications to nonlinear Schrödinger equations.

算子值傅里叶乘子定理是研究Banach空间上微分方程的重要工具之一，它不仅可以用来刻画抽象微分方程的适定性，而且与调和分析、偏微分方程等有着密切的联系。本项目将主要研究三方面内容：一、不同函数空间上两类退化微分方程的适定性问题，主要工具为一般的算子值傅里叶乘子；二、关于一阶退化微分方程的函数空间可容许性理论；三、Hilbert空间上的辛非挤压定理及其在非线性薛定谔方程中的应用。

本项目主要以变分法，辛容量，Floer同调和Morse理论为工具研究了哈密顿系统和拉格朗日系统的周期解的存在性问题与多解性问题。具体来说，分为以下四个方面：一、通过Floer理论研究闭黎曼流形的扭化余切丛上的具有紧支撑哈密顿系统的不可收缩解，并通过限制性BPS辛容量建立了几乎处处能量面上的哈密顿周期轨道的存在性定理；二、将Floer同调应用于研究闭芬斯勒流形的余切丛上哈密顿系统的不可收缩周期解的存在性问题并得到了许多相关的应用；三、运用Morse理论研究了非紧黎曼流形上闭正合磁测地线的存在性问题；四、改进经典的极小极大原理并将其应用到非紧黎曼流形的切丛上的凸拉格朗日系统的周期解的问题。