最优控制问题的多水平校正法及相关高效算法

This project will investigate the multilevel correction finite element methods for optimal control problems governed by partial differential equations. Beginning from the research on the distributed control governed by elliptic equation, we will construct the multilevel correction finite element method. Instead of computing the nonlinear optimization problem on the fine mesh, we will compute the linear boundary value problem on the fine mesh and the nonlinear optimization problem on the coarse mesh. Then, the computing work will be reduced with the same accuracy, so that the computing efficiency is improved. We will further investigate the multilevel correction finite element methods for optimal control problems governed by elliptic equation and parabolic equation, distributed control, boundary control, and the control problem with control (or observation) acting on the lower dimensional manifold. We will completed the theoretical analysis for the a priori and a posteriori error estimate, combine the multilevel correction finite element method with the efficient algorithms such as adaptive finite element methods, multigrid methods and multiscale finite element methods, construct the better algorithms, improve the computing efficiency for the optimal control problems governed by PDE. Based on the theoretical analysis and the numerical tests, we will push the application of the new algorithms, apply our research results on the practical problems, such as pollution control, numerical weather prediction and the design of composite materials.

本项目拟研究偏微分方程最优控制问题的多水平校正有限元方法。我们将从最简单的椭圆方程分布控制问题开始，研究多水平校正有限元算法，将原有的细网格上的非线性优化迭代计算转化为细网格上的线性边值问题计算和粗网格上的非线性优化迭代计算，从而在保证原有精度的前提下，大大减少计算量，提高计算效率。在此基础上，我们将进一步研究椭圆、抛物型方程最优控制、分布控制、边界控制、以及控制（观测）出现在低维流型上的控制等问题，建立多水平校正有限元算法，完成先验和后验误差估计等理论分析，并将其与自适应有限元方法、多重网格法、多尺度有限元方法等高效算法相结合，进一步发展偏微分方程最优控制问题的高效、快速有限元算法，提高最优控制问题数值模拟的计算效率。在理论分析和数值实验基础上，我们将努力推动这些新技术、新算法的应用，将研究结果应用于大气污染控制、数值天气预报及复合材料设计等实际应用问题。

偏微分方程最优控制问题的高效快速计算方法是科学与工程计算领域的热点研究方向之一，有重要理论意义和应用前景。本项目研究偏微分方程最优控制问题的多水平校正有限元方法。我们从最简单的椭圆方程分布控制问题开始，研究多水平校正有限元算法，将原有的细网格上的非线性优化迭代计算转化为细网格上的线性边值问题计算和粗网格上的非线性优化迭代计算，从而在保证原有精度的前提下，大大减少计算量，提高计算效率。我们在研究椭圆方程分布控制问题多水平校正有限元算法基础上，进一步研究椭圆、抛物型方程最优控制、分布控制、各类边界控制、以及控制（观测）出现在低维流型上的控制等问题。针对各类不同的控制问题的特殊性，研究这些问题的高效自适应有限元算法和多水平校正有限元算法，完成算法的先验和后验误差估计以及自适应有限元算法收敛性等理论分析，并将多水平校正有限元算法与自适应有限元方法、多重网格法、多尺度有限元方法等高效算法相结合，进一步发展偏微分方程最优控制问题的高效快速有限元算法，提高最优控制问题数值模拟的计算效率。在理论分析和数值实验基础上，我们还以数值天气预报的资料同化及复合材料最优设计等实际问题为应用背景，研究相关问题的高效计算方法，为最优控制问题的高效有限元计算在实际问题中的应用打下良好基础。