关于狄拉克激波的一些研究

Delta-shock wave is an important kind of nonclassical wave for nonlinear hyperbolic systems of conservation laws. It is widely applied in many fields. However, we notice that the previous investigationgs are focused on the case when the systems are convex, and the results for nonconvex systems are relatively less. We also find that the nonconvex systems with delta-shock solutions aften appear in some practical problems. Therefore, the investigations of delta-shock waves for nonconvex systems are very important.. In this project, with the help of the convex hull , through considering the Rimann problems and wave interactions for two classes of nonconvex systems of conservation laws, we will explore the mathematical mechanisms and propagation rules of the delta-shock waves for nonconvex systems, thus we can furthermore improve and enrich the mathematical theories with respect to delta-shock waves.

狄拉克激波是非线性双曲守恒律系统的一种重要的非经典波,在许多领域都有着广泛的应用。然而我们注意到目前研究者对狄拉克激波的研究大都集中在凸性系统上，对非凸系统研究较少，我们也发现含有狄拉克激波解的非凸系统在一些实际问题中经常遇见。因此对非凸系统的狄拉克激波进行研究是很有必要的。. 在本项目中，借助凸包，我们研究两类非凸守恒律系统的黎曼问题和波的相互作用，探索非凸系统中狄拉克激波的数学机制及传播规律，从而进一步完善和丰富有关狄拉克激波的数学理论。

在本项目中，我们对几类非线性双曲守恒律方程组的狄拉克激波进行了研究。第一，我们研究了一类完全线性退化Keyfitz-Kranzer型系统。澄清了狄拉克激波的广义Rankine-Hugoniot条件和熵条件; 利用相平面分析法，解决了Riemann问题；讨论了两类典型的波的相互作用。第二， 我们研究了带有广义Chaplygin气体压力律和纠正的Chaplygin 气体压力律的Keyfitz-Kranzer型系统。 分别解决了它们的黎曼问题；研究了黎曼解的极限关系，并发现带有纠正的Chaplygin 气体压力律的黎曼解的极限和带有广义Chaplygin 气体压力律的Riemann解并不总是一致的。第三，我们研究了一类带有一个拐点的非凸守恒律系统。澄清了狄拉克激波的广义Rankine-Hugoniot条件和熵条件；借助凸包，建设性地解决了Riemann问题；讨论了基本波的相互作用，获得了14种不同的解的结构。和凸性系统相比，熵条件是不同的，基本波的相互作用中出现了一些新型结构。第四，我们研究了一类具有多个拐点的非凸系统—几何光学系统。利用凸包法，解决了其黎曼问题，获得了7种结构，许多结构在凸性系统中没有出现。我们完成学术论文4篇，已正式发表2篇，较好的完成了本项目的研究工作。