交错扩散导致的种群模式和异质空间中的种群共存研究

Mathematics is becoming more and more important in life science. The Turing pattern widely exists in the nonlinear systems of physics, chemistry and biological mathematics. Spatial heterogeneity is one of the most important factors that affect the dynamics of population due to the uneven distribution of space environment. The project mainly focuses on the population pattern caused by cross diffusion and the coexistence of species in heterogeneous space. We study Turing pattern problem by reaction-diffusion models with cross diffusion by the method of upper and lower solutions, compactness theory, topological degree theory, eigenvalue theory and monotone dynamical system theory, etc. We analysis the effect of cross diffusion function in the process of pattern formation and investigate the effect of cross diffusion and initial value on the selection and the stability of the Turing pattern. We also discuss the coexistence problem of population by the reaction diffusion equations in the heterogeneous space by the eigenvalue theory, linear stability theory, bifurcation theory and monotone dynamical system theory and reveal the inherent mechanism of biological invasion by the effects of heterogeneous environment, resource function and diffusion coefficient on the long time dynamical behavior of solutions of models. The study of this project is a very active research field of mathematical ecology in the world and promotes the application and development of nonlinear partial differential equations.

数学在生命科学中的作用日益重要。Turing模式普遍存在于物理、化学、生物数学等领域的非线性系统中。 由于空间环境的分布不均匀，空间异质性已经成为影响种群动力学行为的重要因素之一。 本项目主要研究交错扩散导致的种群模式和异质空间中种群共存。借助具有交错扩散的反应扩散方程组讨论种群的模式生成问题，采用上、下解的方法、紧性理论、拓扑度理论、特征值理论、单调动力学系统理论等分析交错扩散在模式生成过程中的作用，深入研究交错扩散、初始条件在模式选择和Turing模式稳定性中的影响。借助异质空间中的反应扩散方程组讨论种群的共存问题，利用特征值理论、线性稳定性理论、分歧理论、单调动力学系统理论等分析非均质环境、资源函数、扩散系数对模型解的长时间动力学行为的影响，揭示物种入侵的内在机制。本项目的研究属于国际上非常活跃的数学生态学研究领域，同时也会促进非线性偏微分方程的应用与发展。

本项目主要研究反应扩散方程在种群动力学中的应用。一方面，由于空间环境或条件的分布不均匀，空间异质性已经成为影响种群动力学行为的重要因素之一；另一方面，扩散、对流两类运动的相互作用使生物入侵的过程呈现了复杂的模式与传播机制。因此，研究非均质环境下，扩散和对流共同作用下物种的入侵模式和扩张机制是既富有挑战又具有重要生物意义的热点问题。.本项目利用特征值理论、单调动力学系统理论，研究了对流环境中的河流种群动力学模型，证明了只要资源函数有界可以得到更一般的结论，为从生物学角度理解扩散演化机制提供了新的视野。.利用单调动力学系统理论和谱理论，研究了河流生态学中单种群模型、两种群竞争模型和两种群竞争模型（对流速度不同），讨论了河流长度和对流速度对解的动力学行为的影响，表明弱对流的种群在河流中更占优势。.利用特征值理论、单调动力学系统理论，研究了河流生态学中具有一般的边界条件下的一类Lotka-Volterra竞争种群动力学行为，建立了一个完整的分类。.利用李亚普诺夫-施密特约化方法、扰动理论、隐函数理论等，研究了河流生态学中具有扩散和对流的的一类Lotka-Volterra竞争种群动力学行为。若把对流系数和竞争系数看作分支参数，在任何扩散系数下，证明了该系统正稳态解的存在性。.利用标准的上下解方法、特征谱、中心流形和范数理论理等研究了一类具时滞和神经系统的食物限制种群动力学系统的时空行为。证明了时滞会导致系统解从稳定变得不稳定，探讨了系统解的稳定性和分支方向，并提出了一些控制分支周期解的周期公式。进一步，利用数值模拟揭示了神经网络结构可以改变时空行为的模式类型。