波方程的时间周期解及其Maslov型指标理论

波方程是数学物理中一类重要的偏微分方程，它通常描述自然界中各种各样的波动现象，例如声波、光波和水波。波方程的时间周期解对应于一种特殊而又十分重要的波动现象- - 周期波动。近些年来，Conley, Zehnder,龙以明等知名数学家对有限维哈密顿系统建立并发展了Maslov型指标理论, 将其应用于有限维哈密顿系统的周期解的研究并取得了深刻而丰富的成果。波方程由于具有哈密顿结构，通常称之为无穷维哈密顿系统。本项目将致力于在Sturm-Liouville边值条件下建立波方程的时间周期解的Maslov型指标理论，并将其应用于非线性波方程在Sturm-Liouville边值条件下时间周期解的多重性和稳定性的研究。

自二十世纪六十年代起, 在Dirichlet 边值条件下对波方程的时间周期解的存在性与多重性的研究就一直受到广泛重视和深入研究. 但是在Sturm-Liouville边值条件下对波方程时间周期解的研究还不多. 另一方面, 近些年来, Conley, Zehnder, 龙以明等知名数学家对有限维哈密顿系统建立并发展了Maslov 型指标理论, 将其应用于有限维哈密顿系统的周期解的研究并取得了深刻而丰富的成果. 本项目中,我们主要在Sturm-Liouville边值条件下研究非线性波方程的时间周期解的存在性与多重性. 我们按照计划书开展研究，基本完成了项目的研究任务. 特别地,我们对Sturm-Liouville 边值条件进行了分类, 将其分成了四类, 其中第四类对应于 Dirichlet 边值条件. 对于其他三类边值条件我们对波算子的特征值的渐近性进行了仔细的分析, 研究了波算子的性质. 进一步地, 我们对这三类边值条件对应的线性问题得到了表示公式, 并将之用来研究.Sturm-Liouville 边值条件下解的正则性与多重性. 特别地, 我们研究了超线性增长条件下解的多重性. 我们还在 Sturm-Liouville 边值条件下定义了波算子的相对Morse 指标以及 Maslov 型指标, 并应用其得到渐近线性增长时波方程的非平凡解的存在性. 对于其中的第二与第三类边值条件, 我们应用临界点理论在超线性增长条件时得到了无穷多解的存在性...注意到, 波算子的谱与相应的常微分方程边值问题有紧密联系, 在项目运行期间, 我们还研究了反周期边值条件下二阶常微分方程的Fucik谱, 以及相应的可解性问题, 研究了周期边值条件下p-Laplace方程的关于Fucik谱的可解性问题以及二阶常微分方程周期解的多重性...此外, 近年来, 分数阶微分方程受到了包括Caffarelli, Kenig和Vazquez 等著名数学家的高度关注和深入研究. 分数阶波方程由于是非局部方程, 目前还有很多问题需要进一步研究. 注意到其稳态解对应于分数阶椭圆方程的解, 因此我们在项目运行过程中应用临界点理论研究了分数阶椭圆方程与分数阶Schrodinger方程的变号解以及解的多重性.