虚拟有限元方法及其应用

The virtual finite element method is a generalization of the classical finite element method to polygonal or polyhedral meshes. This method offers the high flexibility of mesh handling in a manner that avoids the explicit evaluation of the shape function. Up to now, the virtual finite element method has not been considered even for some common models, such as the mixed variational forms of Darcy-Stokes problem, fourth order problem and linear elasticity problem. Because the function spaces for these models have to satisfy some special properties, it is very difficult to construct them. Therefore, the theory on the virtual finite element method needs further development, and there are almost no related works in our country. In this item, we study the virtual finite element method with the focus on element construction, stability and convergence analysis, and programming implementation. We first consider how to construct effective virtual elements for the models mentioned above and analyze the corresponding stability and convergence. Based on the existing elements, we explore the general law of constructing virtual elements and develop the fundamental theory on error estimation for virtual finite element methods, which will provide the theoretical reference for more practical applications. Finally, we develop the standard programs of virtual finite element method and implement the numerical computations to verify the theoretical results.

虚拟有限元方法是经典有限元方法到多边形或多面体网格上的一个推广。此方法不需要形函数的显式表达式，因而在处理网格时具有很大的灵活性。目前，即使对于一些常见的模型问题，例如Darcy-Stokes问题，四阶问题及线弹性问题的混合变分形式，虚拟有限元的研究还没有见到。由于这些模型问题对应的函数空间需要满足特殊的性质，因而构造起来特别困难。因此，虚拟有限元的理论需要进一步的完善，而且国内几乎没有相关的研究工作。本项目以虚拟有限元方法为研究对象，研究虚拟有限元的单元构造、稳定性、收敛性以及程序实现。我们首先针对上述模型问题研究如何构造有效的虚拟单元并进行相应的稳定性和收敛性分析。结合已有的虚拟单元，我们探索构造虚拟单元的一般规律，进一步完善虚拟有限元误差分析的理论基础，为更多的实际应用提供理论参考。最后，我们开发虚拟有限元基础程序，实现虚拟有限元的数值计算，检验理论结果。

虚拟元方法是经典有限元方法到多边形或多面体网格上的一个推广，在单元构造和网格剖分方面具有很大的灵活性。本课题组以虚拟元方法为研究对象，研究了虚拟元方法的单元构造、稳定性、收敛性以及程序实现。本课题组在虚拟元方法的单元构造、离散格式设计、误差分析和程序实现等各方面都取得了重要的研究成果,具体内容如下。. 在虚拟单元的构造方面，针对板弯曲问题，构造了一个自由度更少的非协调Morley型虚拟单元，并得到了最优的收敛性结果；针对Stokes问题，构造了两个无散度非协调虚拟单元，即H(div)协调的H^1非协调Stokes单元和完全H^1非协调的Stokes单元，同时也得到了两个正合的离散Stokes复形。其中，完全H^1非协调Stokes单元被用于离散Stokes问题，被证明具有最优的收敛阶。. 在虚拟元离散格式及收敛性分析方面，针对四阶奇异摄动问题，提出了一种C^0连续的非协调虚拟元方法。在最低阶的情形下，此非协调方法关于摄动参数是一致收敛的。针对纯位移和纯应力情形下的线弹性问题，提出了相应的非协调虚拟元方法。此方法在几乎不可压情形下是一致收敛的。针对抛物问题，提出了一种非协调虚拟元方法，分别在半离散格式和全离散格式下证明了此方法的收敛性。针对Darcy-Stokes问题，提出了一种非协调虚拟元方法。对于最低阶的情况，还证明了此方法关于小参数因子的一致收敛性。针对带摩擦的Kirchhoff板接触问题，建立了一个虚拟元方法的理论框架，以统一的方式分析了H^2协调虚拟单元和两个H^2非协调虚拟单元。针对时间分数阶反应扩散问题，提出了一种非协调虚拟元方法，并证明了半离散格式和全离散格式的最优收敛性。. 在程序实现方面，课题组自主开发出虚拟有限元通用C++程序框架Vefemz，用于实现虚拟元方法和有限元方法的数值计算，验证理论结果。