多自由度Hamilton系统动力学复杂性及相关理论研究

In this project, we shall study the dynamical instability of Hamiltonian systems with multiple degrees of freedom (the number of degrees of freedom is not less than three). Since KAM torus (Lagrange torus) does not separate the energy level set, very complicated dynamical behavior appears in the systems with multiple degrees of freedom. In particular, we shall investigate the variational theories applicable to the study of complicated dynamical behavior and apply them to the problem of Arnold diffusion in nearly integrable systems with arbitrarily many degrees of freedom. More precisely, we shall study the following:.1, develop more deeply the Mather theory and weak KAM theory for Tonelli Hamiltonian, towards the solution of Arnold diffusion;.2, singular dynamics for weak KAM solution;.3, the Mather theory and weak KAM theory for contact Hamiltonian dynamics;.4, the Mather theory and weak KAM theory for relativistic mechanics..It is expected that certain essential progress is made towards the understanding of variational theories and complicated dynamics of the systems from classical mechanics to relativistic dynamics.

本项目专注于多自由度Hamilton系统的动力学复杂性与相关理论研究（多自由度是指自由度数不少于3）。由于KAM环面（Lagrange环面）不再分割等能量面，多自由度系统呈现出高度的动力学复杂性。本项目将就适用于研究复杂动力学的Hamilton系统的变分理论进行系统深入的研究，并将运用到任意自由度系统的Arnold扩散研究上。具体包括.1，正定Hamilton系统Mather理论与弱KAM理论的进一步深入研究，以求解决任意自由度近可积系统的Arnold扩散问题；.2，弱KAM解的奇性动力学与内蕴方法；.3，切触Hamilton系统的变分理论；.4，相对论力学的Mather理论与弱KAM理论。.希望通过本项目的研究，实质性加深对从经典力学系统（Hamilton量关于作用量正定）到相对论力学系统的变分理论及动力学复杂性的理解。

本项目专注于多自由度Hamilton系统的动力学复杂性与相关理论研究。多自由度系统呈现出高度的动力学复杂性。本项目就适用于研究复杂动力学的Hamilton系统的变分理论进行系统深入的研究，并将运用到三个自由度系统的Arnold扩散等重要问题研究上。取得了一系列突破性成果。.1，证明存在一致有限段法向双曲不变柱面延伸致足够接近双共振点，并发现了双共振点附近的上同调等价环形域从而解决了著名的双共振问题。这直接导致了三自由度近可积Hamilton系统扩散问题的解决。.2，利用Lax-Oleinik正负半群的相互作用，给出奇性传播的内蕴机制，并证明了弱KAM解的奇性全局传播。证明了Aubry集补集与奇点集和割迹的同伦等价性，并且奇点集与割迹均为局部可缩。解决了Riemann几何中一个长期未决的问题.3，首次引入了隐式变分原理处理切触Hamilton-Jacobi方程。对于非单调的一般切触系统引入了正负向隐式Lax-Oleinik半群，并且证明了静态方程的弱KAM解的存在性。建立了相应的Aubry-Mather理论。运用Herglotz变分原理给出切触型Hamilton-Jacobi方程另一种刻画。.4，解决了一般接触项消失和非线性折现消失问题，刻画了极限解的结构性态中。研究负向折现消失问题，揭示出负向折现消失问题与正向相关问题的本质区别。..本项目的研究，实质性加深对从经典力学系统、耗散系统、多粒子系统等问题的变分理论及动力学复杂性的理解。