函数演算与Kato平方根问题

The theory of functional calculi was established mainly for the non-negative operators on Banach spaces, including analytic functional calculi,Phillips functional calculi and absolutely continuous functional calculi. This program is going to establish the theory of functional calculus for generators of fractional resolvent families and discuss the Kato's square root problem on general Banach spaces,which relate to the fields of fractional calculus of distributions,fractional powers of operators and spaces of functions with continuous derivatives of fractional orders.More specifically, we first discuss the fractional calculus of slowly increasing distributions by using the theory of Fourier multiplies and give a systematic study of spaces of functions with continuous derivatives of fractional orders. Next, we establish some functional calculus for resolvent families and discuss the properties of powers of operators on Banach spaces, especially, the analytic properties of the generators of fractional resolvent families and the powers of differential operators. Finally, we give connections of domains of fractional powers for generators of fractional resolvent families and spaces of functions with continuous derivatives of fractional powers, and settle the Kato's square root problem for the generator of fractional resolvent families on general Banach spaces.

函数演算已有的工作主要是针对Banach空间上的非负算子展开，主要有解析函数演算、Phillips函数演算以及绝对连续函数演算等。本项目主要是发展Banach空间上一类预解族生成元的函数演算并用来解决一般Banach空间上分数次预解族生成元的Kato平方根问题，具体涉及广义函数的分数阶微积分、算子的分数幂，分数次连续可微函数空间等理论。首先，利用乘子理论讨论缓增分布的分数阶微积分并建立分数次连续可微函数空间的系统理论；其次进一步发展函数演算理论并考察Banach空间上扇形算子的分数幂问题，尤其是分数次预解族的生成元以及微分算子的分数幂的解析性质；最后讨论分数次预解族生成元的分数幂的定义域与分数次连续可微函数空间之间的关系并解决一般Banach空间上分数次预解族生成元的Kato平方根问题。

函数演算是泛函分析领域内重要的研究方向之一。目前熟知的函数演算主要有Hilbert空间上自伴算子的连续函数演算和Borel函数演算以及Banach空间上扇形算子的解析函数演算和绝对连续函数演算，其中解析函数演算是建立Banach空间上算子分数幂理论的一个有效工具。Banach空间上算子分数幂理论的一个核心问题是：如何精确刻画分数幂算子的定义域？基于对该问题的回答，本项目从建立微分算子以及预解族的函数演算入手，对分数次预解族生成元的分数幂展开了系统的研究，讨论了分数幂算子的解析表示、定义域的等价刻画以及与其密切相关的分数次光,滑函数空间（Besov空间与Triebel-Lizorkin空间等），并解决了分数次预解族生成元的Kato平方根问题，其中最为重要的结果是利用分数次预解族给出Banach空间上非负算子分数幂定义域的特征（由此建立了与算子相关的分数次光滑函数空间，并在此类函数空间上解决了分数次预解族生成元的Kato平方根问题）。本项目相关结果在随机分析、动力系统以及分数阶微积分的理论基础等方面均有重要的理论意义和实际应用。