SRB测度理论和扰动的同宿环、异宿环以及极限环混沌动力学

本项目主要研究同宿环、异宿环和极限环的非自治扰动系统动力学，特别是系统的SRB测度存在性和混沌吸引子的结构以及轨道统计性质。以前针对这类系统的研究，主要通过Melnikov函数和Smale马蹄描述系统的混沌性。但Smale马蹄一般是一个零测度集，应用数值模拟方法很难描述它的结构，不能达到全面深刻理解混沌吸引子结构和性质的目的。本项目从SRB测度的观点统一研究这三类不变环产生混沌的机制, 从测度论意义、拓扑意义和统计意义上更加深刻地阐述混沌吸引子的全局结构。这些结论将加深我们对动力系统复杂性的理解，推动动力系统理论的发展。

自从1890年Poincare提出同宿缠结以来, 不变环扰动动力学一直是动力系统的研究热点. 特别对同宿环作非自治扰动, Smale 构作了精美的马蹄结构, 且得到了拓扑意义下的混沌马蹄. 1963年左右, Melnikov为判断横截同宿点存在性从而得到Smale混沌马蹄, 建立了Melnikov积分判别法. 这些方法在一定程度上回答了不变环扰动动力学. 然而, 研究动力系统的重要工具---返回映射没有明确的解析表达式. 时间T映射虽然是返回映射. 但是它只能局部反映相平面上的动力学, 未能反映时间方向的动力学. 这些问题的解决直接与不变环扰动动力学有关. 另外, 随着SRB测度理论的发展, 人们发现, 零测度集的Smale马蹄虽然理论上存在, 但实际上却观测不到. 这说明很多研究论文中的数值结果并不正确反映理论结果..针对以上问题, 本项目致力于不变环扰动系统的返回映射解析表达式推导. 包括二维异宿环扰动系统、三维自治和非自治扰动系统. 不同于时间T映射, 我们根据环的返回性, 推导出含时间变量的返回映射解析表达式. 根据新返回映射解析表达式, 分析时间方向上的动力学, 结合SRB测度, 分析不变集和混沌吸引子, 从而得到不变环扰动系统的整体动力学结果.