组合数学理论与应用：(1) 排列群中统计量的研究与 (2) 协议序列中汉明互相关的研究

The major concerns of Combinatorics include determining the existence, studying the structure and counting the number of some combinatorial objects (i.e., combinatorial models or discrete models) with certain properties. It contains several subfields such as Algebraic Combinatorics, Enumerative Combinatorics, Graph Theory, Combinatorial Design, and so on. This project is divided into two parts: "the study on statistics over permutation groups" for pure part, and "the study on Hamming cross-correlations of protocol sequences" for applied part... In the study on statistics over permutation groups, the two main projects are the equi-distribution of various statistics and the refined sign-balance identities. It is of interests to extend to types B and D in the sense of Coxeter groups, or colored permutation groups in the sense of reflection groups. As for the study on protocol sequences, the main goal is to solve practical problems by investigating the properties of (generalized) Hamming cross-correlation functions under various application models.

组合数学主要研究满足一定条件的组态（即组合模型或离散模型）的存在性、结构及计数等方面的问题，其内容包含代数组合、计数组合、图论、组合设计等。本项目的研究依理论及应用分为「排列群中统计量」及「协议序列中汉明互相关」两个层面。.. 在排列群中统计量的研究中，我的主要研究目标是多统计量间的联合同分布及联合分布的折迭现象，并尝试合理地推广至B、D型态或有色排列群。在协议序列的研究中，我的主要目标则是（广义的）汉明互相关函数在不同应用模型下的性质，并藉此解决实际应用问题。

本报告重点在于研究无线通信中最基本的无反馈冲突信道与数据网络中心的胖树结构。首先，对于一个时隙同步的无回馈冲突信道，有两种主要的接入方法：随机（时隙ALOHA）和确定性（协议序列）。不同于传统的时隙ALOHA，协议序列提供一种，即便在时间难以同步的情况下，依然能够确保在一定时间内的非零吞吐率。我们得到了许多在这方面的结果，包括UI序列和CRT序列。接着，为了能给予一个公平的比较，我们考虑了有期限约束的时隙ALOHA，并得出一系列的结果。同时也将上述结果推广至MPR和SCI模型。最后，我们也得到胖树这种结构的光指针（或全局装填量）。